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cailloux

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Sangaku inversif

Bonjour à tous,
Il semble que notre ami Bernard-maths, à la suite d'un fil récent, se soit pris d'une soudaine passion pour les inversions.
Avec ce nouveau et minuscule problème, j'espère lui faire comprendre que l'inversion et ses avatars sont un outil puissant dans certaines circonstances et ne se résument pas à faire joujou avec GeoGebra.
Sont donnés trois points alignés $A,C,B$ dans cet ordre, les trois demi cercles de diamètres $[AB]$, $[AC]$, $[CB]$ ainsi que la perpendiculaire en $C$ à la droite $(AB)$.
Sont construits les deux cercles en rouge sur la figure avec leurs trois points de contact respectifs :

Montrer que ces deux cercles ont même rayon.
Une première approche consiste à réaliser une figure "exacte" (j’entends par "exacte" ce que permet par exemple GeoGebra avec une approximation d'une quinzaine de décimales).
Il est tout à fait inutile et contre productif de procéder par tâtonnements.
Bien sûr, toute solution, voire calculatoire, est la bienvenue.
P.S. J'espère ne pas voir de messages intempestifs qui n'ont rien à voir avec ce sujet.
[Edit] Modification du titre où j'avais confondu "Sudoku" et "Sangaku" (c'est pas beau de vieillir ...)
Merci à Jelobreuil qui me l'a signalé fort gentiment.

Dernière modification par cailloux (16-05-2026 14:48:49)

Bernard-maths

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Re : Sangaku inversif

Bonsoir à tous !

Je vois que caliloux cherche la bagarre ... j'ai un peu cherché mais je tourne en rond, et je cogite d'autres trucs ... alors  (:-)

Bonne soirée, B-m

Dernière modification par Bernard-maths (18-05-2026 19:43:11)

Bernard-maths

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Re : Sangaku inversif

Bonjour à tous !

Pour trouver les centres des cercles, je pensai chercher les courbes équidistantes de 2 cercles, ou d'une droite et d'un cercle, puis le point d'intersection ... y'a un truc qui coince !!!

B-m

cailloux

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Re : Sangaku inversif

Bonjour à tous, bonjour Bernard-maths,
Une première approche du niveau d'un lycéen voire d'un collégien avec une figure :

Dans le triangle $OO'_1O_1$, on exprime la hauteur $h=O'_1H$ de deux manières différentes avec Pythagore :
${h}^{2}={O_1O'_1}^{2}-{O_1H} ^{2}={OO'_1} ^{2}-{OH}^{2}$
$h^2=(r_1+r)^2-(r_1-r)^2=(r_1+r_2-r)^2-(r_2-r_1+r)^2$
Tout calculs faits, on obtient la jolie formule (à un coefficient 2 près, une moyenne harmonique) :
$$\dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}$$
Bien sûr, vu la symétrie de la formule en $r_1$ et $r_2$, on obtient la même chose avec l'autre cercle.
Une fois cette formule établie, on peut en déduire une construction géométrique des deux cercles tri-tangents :

Une seconde approche (et c'est un peu le but de ce fil) est de construire les deux cercles sans à priori sur l'égalité des rayons à l'aide d'une inversion.
J'ai choisi l'inversion de pôle $C$ qui échange $A$ et $B$ donc de puissance $-CD^2$. Le cercle d'inversion positive figure en trait pointillé fin. On la compose avec la symétrie centrale de centre le pôle $C$ pour obtenir l'inversion choisie.
Tout ce qui est utilisé se résume à la conservation du contact par inversion.
On peut observer la figure attentivement pour la décortiquer :

Michel Coste

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Re : Sangaku inversif

Bonjour,
J'avais fait les calculs en choisissant des coordonnées pour que $C=(0,0)$, $a=(-1,0)$, $B=(b,0)$ avec $b>0$ et donc $D=(0,\sqrt{b})$. En étant soigneux, on trouve sans grande difficulté que le rayon commun des deux cercles tritangents est $\dfrac{b}{2(1+b)}$.
Et pour la construction en GeoGebra des centres des cercles, on les obtient chacun facilement comme intersection de deux paraboles (par exemple, celle de foyer le milieu I de AC et de directrice la perpendiculaire à AC passant par le symétrique I' de I par rapport à C et celle de foyer le milieu H de AB et de directrice la perpendiculaire à AB passant par le symétrique H' de H par rapport à I.

Dernière modification par Michel Coste (19-05-2026 16:49:15)

cailloux

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Re : Sangaku inversif

Bonjour,
Bien sûr Michel Coste : une solution simple et un peu calculatoire est toujours la bienvenue. Merci à toi.
En fait, j'avais trouvé ce célébrissime problème (Arbelos et cercles d'Archimède) dans le Iliovici et Robert comme application de l'inversion. Exercice classé "C", c'est à dire difficile. Je continue dans la même veine.
Une nouvelle figure :

Les deux cercles vert et rouge du bas de la figure sont les homologues des cercles tri-tangents dans l'inversion de pôle $C$ (et de puissance $-CD^2$). Par construction, ils sont disjoints "extérieurement" (excepté lorsque $C$ est milieu de $[AB]$).
$I$ est le centre de l'homothétie positive (point de concours des tangentes extérieures) qui échange les deux cercles.
C'est aussi le pôle de l'inversion positive qui les échange. Est reporté le cercle d'inversion $\Gamma$ correspondant.
On consulte maintenant la page 260 du Lebossé & Hémery en particulier le minuscule corollaire 409 :

Reste à montrer que $C$ pôle de l'inversion utilisée appartient à $\Gamma$ et c'est fini.
On a en prime la droite $\Delta$ inverse de $\Gamma$ dans l'inversion de pôle $C$ et axe de symétrie des deux cercles.
[Edit] Modifié la figure avec une construction de $I$ et pour faire apparaître la preuve que $C\in\Gamma$

Dernière modification par cailloux (Aujourd'hui 11:42:46)

Bernard-maths

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Re : Sangaku inversif

Bonjour à tous !

Finalement, Michel a fait ce que je cherchais. C'est plus simple que les inversions ...

Merci cailloux, je dois prendre le temps d'y réfléchir ...

B-m