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germain32

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Problème du ou inclusif dans la théorie des ensembles

Bonjour,
En essayant d'écrire la contraposée de l'axiome d'extensionnalité je suis confronté au problème suivant:
Si $P$ et $Q$ sont deux propriétés compatibles mais que $\neg P$ et $\neg Q$ sont incompatible,
La négation de $\forall x (P(x) \land Q(x))$ est $\exists x (\neg P(x) \lor \neg Q(x))$
Le $\lor$ étant inclusif on arrive à une contradiction.
Remarque: Si on utilise la formulation initiale de Zermelo on n'est pas confronté au problème
Merci de bien vouloir éclairer ma lanterne

bridgslam

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Re : Problème du ou inclusif dans la théorie des ensembles

Bonjour,

A mon sens dire que les assertions P(x) ,Q(x)  sont compatibles signifie que la proposition R  = "Il existe x : P(x) et Q(x)" est vraie.
C'est équivalent à dire que non R est fausse , autrement dit  S = "pour tout x: non P(x) ou non Q(x)" est fausse.
(x est considéré dans un référentiel donné).

Je ne suis pas un spécialiste de logique, mais ( par exemple ) quand on cherche à résoudre un système de deux équations linéaires à une inconnue (x,y), on est intéressé à ce que au moins un (X,Y) du référentiel ( disons un ensemble donné, ici le plan ordinaire) vérifie chaque relation.
Si c'est le cas, on dit que le système est compatible (la théorie dit qu'il existe un seul (X,Y) ou une infinité, par ailleurs ).
Dans le cas contraire , pas de solution, pour tous (X,Y) , au moins l'une des deux équations n'est pas satisfaite.

Je ne vois pas  où se situe ton souci ( ou bien je n'ai rien compris à ta question).

germain32

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Re : Problème du ou inclusif dans la théorie des ensembles

Bonjour Bridgslam,

L'axiome d'extensionnalité peut s'écrire:
$\forall a \forall b \forall x ((x \in a \Rightarrow x \in b)\wedge  (x\in b \Rightarrow x \in a))\Rightarrow (a=b)$

La contraposée donne
$\forall a \forall b (\neg(a=b))\Rightarrow \exists x ((x\in a \wedge x\notin b)\vee( x \in b \wedge x \notin a))$

Le ou mathématique étant inclusif on peut avoir $(x\in a \wedge x\notin b)\wedge( x \in b \wedge x \notin a)$
Ce qui est évidemment contradictoire....

Par contre si on écrit comme Zermelo:
$(a\subset b \land b\subset a) \Rightarrow (a=b)$
La contraposée s'écrit:
$\neg(a=b)\Rightarrow (a \not\subset b \lor b\not\subset a)$
Avec le ou inclusif on peut avoir $(a \not\subset b \land b\not\subset a)$
Ce qui cette fois ci ne pose pas de problème

bridgslam

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Re : Problème du ou inclusif dans la théorie des ensembles

Bonjour,

Logiquement s'  il existe x  (p(x) ou q(x)  )  tu ne peux pas dire que c'est le même x  dans l'assertion  conjonctive au lieu de la disjonctive.
Cela semble d'ailleurs normal lorsque p et q sont incompatibles...
Par-contre la formule conjonctive  implique la disjonctive.
Tu ne peux pas distribuer le quantificateur $\exists$ en conservant une variable unique.

Dans un sac j'ai des objets.  Si je tire un objet x du sac , qu'il soit rouge (P ), ou qu'il soit un chapeau (Q) , je pourrai dire
que la proposition disjonctive est vraie pour au moins ce x : ( P ou Q) (x)
Rien  ne me permet d'affirmer en général qu'il existe un chapeau rouge dans le sac.
Et pour cause si par exemple tous les chapeaux sont bleus...

Dans ton exemple la contraposée  revient à une assertion "A implique B" (B disjonctive)  .   Si  C ( conjonctive et non équivalente à B )  implique B cela ne change rien à l'affaire.
( C est d'ailleurs toujours fausse ici, puisque avec le même  objet x  dans sa formulation p et q sont incompatibles).

bridgslam

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Re : Problème du ou inclusif dans la théorie des ensembles

Pour résumer:

La contraposée de l'axiome d' extension est exprimable par la relation d'inclusion ( ou sa négation ).

Ce que tu fais:

- tu décomposes les inclusions  entre ensembles en relation d'appartenance au moyen de quantificateurs et de variables. OK.
- tu obtiens une implication $A \Rightarrow B$ . OK.
- tu t'aperçois qu'une propriété C plus forte que B  t'interpelles ( en l'occurence elle est fausse comme conjonction de deux propositions incompatibles... ). OK
- tu conclus qu'il y a une erreur.

Le problème se situe entre les deux derniers points.
"Si je vais randonner (A), c'est qu'il ne pleut pas (B)".
"S'il fait un grand soleil (C), il ne pleut pas (B)".

Cela ne veut pas dire que si je vais randonner, cela implique un grand soleil.
Et le fait qu'il fasse parfois grand soleil est même un bonus !
Dans le cas où le grand soleil est totalement utopique, pas de souci logique non plus!

Michel Coste

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Re : Problème du ou inclusif dans la théorie des ensembles

Bonjour,

La contraposée donne
$\forall a \forall b (\neg(a=b))\Rightarrow \exists x ((x\in a \wedge x\notin b)\vee( x \in b \wedge x \notin a))$

Le ou mathématique étant inclusif on peut avoir $(x\in a \wedge x\notin b)\wedge( x \in b \wedge x \notin a)$
Ce qui est évidemment contradictoire....

Quel est le problème ? Je n'en vois aucun. Aucune contradiction.

Une remarque : $\exists x \ (P(x) \vee Q(x))$ est logiquement équivalent à $(\exists x\ P(x))\vee(\exists x\ Q(x))$.  Par contre $\exists x \ (P(x) \wedge Q(x))$ entraîne $(\exists x\ P(x))\wedge(\exists x\ Q(x))$ mais ne lui est pas logiquement équivalent.