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#1 12-03-2026 22:45:44
- germain32
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- Messages : 31
Démonstration de l'équipotence de P(N) et de R
Bonjour,
Je propose une démonstration de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ équipotent à $\mathbb{R}$ utilisant
le théorème de Cantor-Bernstein et j'aimerais que l'on me dise si ça fonctionne.
1) Soit $A \in { \mathcal{P}(\mathbb{N})} $, on pose $f(A)=0,1a_0a_1a_2\ldots a_n \ldots$
avec $a_k = 1 $ si $k\in{A} $ et $a_k = 0 $ sinon.
$f$ est une injection de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ dans $\mathbb{R}$.
2) Soit $x \in {\mathbb{R}}$ on développe $x$ en base 5 et on obtient $0,a_0a_1a_2\ldots a_n \dots$ où les $a_k \in { \{0,1,2,3,4\}}$
On pose $g(x) = \{a_0 , 5+a_1 , 10+a_2, \ldots , 5n+a_n , \ldots \}$
$g$ est une injection de $\mathbb{R}$ dans $\mathcal{P}(\mathbb{N})$.
Et on conclut avec le théorème de Cantor-Bernstein.
Voilà, j'attends vos avis
Merci
Hors ligne
#4 13-03-2026 12:01:48
- DeGeer
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- Inscription : 28-09-2023
- Messages : 222
Re : Démonstration de l'équipotence de P(N) et de R
Bonjour
Tu peux montrer que $\mathbb{R}$ est équipotent à $]0,1[$, puis que $]0,1[$ est équipotent à $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ (l'ensemble des suites à valeurs dans $\{0,1\}$) et enfin que $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ est équipotent à $\mathcal{P}(\mathbb{N})$.
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