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algharib

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actions de groupes

Salut à tous , j’ai une question s’il vous plaît que je me suis poser , j’ai étudier un peu les actions de groupes mais je ne comprends pas trop pourquoi on aime bien faire agir un groupe sur des ensembles, en fait j’ai vu le cas où on fait agir un groupe sur un espaces vectoriels et on a des beaux résultats, mais comment d’une manière “naturelle” on fait ça , comment je peux savoir à quelle moment je dois faire agir un groupe sur un tel exemple, on fait ça par curiosité et voir ce qu’on aura comme résultat?

Cordialement.

Fred

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Re : actions de groupes

Bonjour,

  Quelques éléments de réponse : https://www.bibmath.net/dico/index.php? … roupe.html

F.

algharib

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Re : actions de groupes

Bonjour Fred, merci pour ton message , cependant je me suis poser une autre question, par exemple la fameuse relation d’équivalence qu’on utilise en théorie de groupes (x^-1*y) on peut la voir aussi d’un autre point de vu c’est à dire avec les actions de groupes?

Cordialement.

Michel Coste

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Re : actions de groupes

Bonjour,
De quelle relation d'équivalence parles-tu exactement ? Que veux-tu dire avec ton $x^{-1} \,y$ ?

4xzvlr

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Re : actions de groupes

Bonjour,(j’ai pu m’inscrire..)

Je parlais de cette relation d’équivalence :
Soit (G,*) un groupe , H un sgrp de G,soit x,y dans G
On a x~y ssi x^-1*y est dans H .Cette relation d’équivalence me permet d’avoir la projection canonique (i.e l’application entre G et G/~) comme un morphisme de groupe d’une manière naturel. Je me suis poser la question si on pouvait voir ce résultat d’un autre point de vu , c’est à dire faire agir le groupe G sur lui même , à priori ça fonctionne …, mais pour être honnête le concept de faire agir un groupe sur un ensemble (apparemment on le fait agir aussi sur les anneau ,groupes etc etc ) me paraît pas naturel, c’est à dire je comprends les notions qu’ils y’a dedans mais je ne vois pas trop à quel moment j’aurai besoin de faire agir un groupe sur un tel ensemble ou sur un anneaux par exemple. Est-ce que on fait ça que par curiosité pour voir ce qu’on peut avoir comme résultats?

Cordialement.

bridgslam

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Re : actions de groupes

Bonjour,

Ce que tu écris est faux, sans autre précision.
De quelle action de groupe parles-tu en rapport avec ta relation d'équivalence ?
Sur un plan conceptuel, pour moi l'apport des actions de groupe est essentiellement géométrique, à la fois dans le sens du lien de Fred, mais aussi dans le sens de la "géométrie" qui peut se nicher intrinsèquement dans les groupes.
Un exemple concret qui me vient en tête est celui des triplets d'entiers croissants compris entre 0 et 5.
(0,0,0), (0,0,1) .... (5,5,5)
Sur un plan strictement algébrique on peut au moyen de bijection en  dénombrer le cardinal (56).
On peut aussi loger toutes les valeurs possibles  aux sommets d'un triangle équilatéral, faire agir sur l'ensemble des triangles obtenus un groupe particulier,
et en déduire ipso facto ( si on connaît les actions de groupes) le cardinal cherché.
On conviendra qu'on est à la croisée de l'algèbre pur et de la géométrie.
On obtient un jeu de société bien connu, pendant des dominos ...

DSBmath

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Re : actions de groupes

Je parlais de cette relation d’équivalence :
Soit (G,*) un groupe , H un sgrp de G,soit x,y dans G
On a x~y ssi x^-1*y est dans H .Cette relation d’équivalence me permet d’avoir la projection canonique (i.e l’application entre G et G/~)

Bonjour

Pardon mais j'ai l'impression que vous supposez ici quelque chose qui doit être précisé c'est à dire que la relation d'équivalence est compatible avec la loi de groupe

Vous oubliez qu'on définit deux relations d'équivalences dans un sous-groupe H d'un groupe G
on va les noter $\equiv _d$ et $\equiv _g$
$x\equiv _d y\left(H\right)$  ssi $xy^{-1}\in H$ et on note $\left(G/ H\right)_d$ l'ensemble des classes dites à droite
$x\equiv _g y\left(H\right)$  ssi $x^{-1}y\in H$ et on note $\left(G/ H \right)_g$ l'ensemble des classes dites à gauche
Les deux ensembles de classes à droite et à gauche sont équipotents

Lorsque H est un sous-groupe distingué de G (on dit aussi sous-groupe normal ou invariant) alors ces deux relations coïncident et on dit que cette relation d'équivalence est compatible avec la loi du groupe
H est un sous-groupe distingué ssi
$\forall a\in H,\forall b\in H , aba^{-1}\in H$ et identiquement $\forall a\in H,\forall b\in H , a^{-1}ba\in H$
Alors seulement on peut écrire la relation d'équivalence $\equiv $ selon
$x\equiv y\left(H\right)$ ssi  $xy^{-1}\in H$ et identiquement $x\equiv y\left(H\right)$ ssi  $x^{-1}y\in H$

4xzvlr

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Re : actions de groupes

Bonjour, je vous remercie tous  déjà pour votre temps et votre patience ,

Bonjour,

Ce que tu écris est faux, sans autre précision.
De quelle action de groupe parles-tu en rapport avec ta relation d'équivalence ?

En fait je voulais dire on prend (G,*) un groupe H un sgrp de H et on fait agir H sur G (à droite ou à gauche ) , normalement on va retomber sur
la relation d’équivalence x^-1y qu’on utilise souvent.

Je parlais du fait faire agir le group
Sur un plan conceptuel, pour moi l'apport des actions de groupe est essentiellement géométrique, à la fois dans le sens du lien de Fred, mais aussi dans le sens de la "géométrie" qui peut se nicher intrinsèquement dans les groupes.
Un exemple concret qui me vient en tête est celui des triplets d'entiers croissants compris entre 0 et 5.
(0,0,0), (0,0,1) .... (5,5,5)
Sur un plan strictement algébrique on peut au moyen de bijection en  dénombrer le cardinal (56).
On peut aussi loger toutes les valeurs possibles  aux sommets d'un triangle équilatéral, faire agir sur l'ensemble des triangles obtenus un groupe particulier,
et en déduire ipso facto ( si on connaît les actions de groupes) le cardinal cherché.
On conviendra qu'on est à la croisée de l'algèbre pur et de la géométrie.
On obtient un jeu de société bien connu, pendant des dominos ...

D’accord merci je vois un peu même si je suis pas très familier avec la géométrie..

Cordialement.

4xzvlr

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Re : actions de groupes

Bonjour!  Désolé si je n’étais pas clair dans mes explications, je le supposais pas mais la relation d’équivalence je la voyais plutôt comme une condition nécessaire et suffisante pour que la relation déquivalence soit compatible avec la loi du groupes ,cependant je me suis poser la question suivante: soit (G,*) un groupe, on définit une relation d’équivalence sur G tel que la projection est est un morphsime , donc ça impliquerai que la relation d’équivalence est celle qu’on définit (x^-1*y), mais dans le cas où j’ai G et G/~ deux groupes sans que la projection soit un morphsime de groupes  ça devient pas très interessant? En fait je suis pas sûr de comprendre le but de quotienter un groupe , normalement on utilise une relation déquivalence pour s’intéresser à certaines propriétés de notre ensemble, mais ici je n’ai pas l’impression que c’est la même chose avec la structure du groupes quotient..

Cordialement.

Je parlais de cette relation d’équivalence :
Soit (G,*) un groupe , H un sgrp de G,soit x,y dans G
On a x~y ssi x^-1*y est dans H .Cette relation d’équivalence me permet d’avoir la projection canonique (i.e l’application entre G et G/~)

Bonjour

Pardon mais j'ai l'impression que vous supposez ici quelque chose qui doit être précisé c'est à dire que la relation d'équivalence est compatible avec la loi de groupe

Vous oubliez qu'on définit deux relations d'équivalences dans un sous-groupe H d'un groupe G
on va les noter $\equiv _d$ et $\equiv _g$
$x\equiv _d y\left(H\right)$  ssi $xy^{-1}\in H$ et on note $\left(G/ H\right)_d$ l'ensemble des classes dites à droite
$x\equiv _g y\left(H\right)$  ssi $x^{-1}y\in H$ et on note $\left(G/ H \right)_g$ l'ensemble des classes dites à gauche
Les deux ensembles de classes à droite et à gauche sont équipotents

Lorsque H est un sous-groupe distingué de G (on dit aussi sous-groupe normal ou invariant) alors ces deux relations coïncident et on dit que cette relation d'équivalence est compatible avec la loi du groupe
H est un sous-groupe distingué ssi
$\forall a\in H,\forall b\in H , aba^{-1}\in H$ et identiquement $\forall a\in H,\forall b\in H , a^{-1}ba\in H$
Alors seulement on peut écrire la relation d'équivalence $\equiv $ selon
$x\equiv y\left(H\right)$ ssi  $xy^{-1}\in H$ et identiquement $x\equiv y\left(H\right)$ ssi  $x^{-1}y\in H$

bridgslam

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Re : actions de groupes

Bonsoir,

Attention tu as amalgamé tes propos aux miens dans les citations en jaune, ce qui est pénible, et  d'autant plus que c'est incohérent.
Et tu ne donnes pas plus d'explication sur l'action que tu évoquais, qui est toujours aussi floue.
De quelle action de H sur G parles-tu?
Le mieux est à mon avis de reprendre le cours.

4xzvlr

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Re : actions de groupes

Bonjour,je parlaisde l’action de groupe de H sur G avec H un sgrp de G , on aurai la relation d’équivalence celle de conjugaison normalement.

Cordialement.

Bonsoir,

Attention tu as amalgamé tes propos aux miens dans les citations en jaune, ce qui est pénible, et  d'autant plus que c'est incohérent.
Et tu ne donnes pas plus d'explication sur l'action que tu évoquais, qui est toujours aussi floue.
De quelle action de H sur G parles-tu?
Le mieux est à mon avis de reprendre le cours.

bridgslam

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Re : actions de groupes

Bonjour,

C'est incompréhensible:
h. g = ?

Michel Coste

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Re : actions de groupes

Je parlais de cette relation d’équivalence :
Soit (G,*) un groupe , H un sgrp de G,soit x,y dans G
On a x~y ssi x^-1*y est dans H .

Ça va mieux quand les choses sont correctement écrites. les classes de cette relation d'équivalence sont les classes à gauche modulo $H$, les $xH$ pour $x\in G$. La classe à gauche $xH$ est égale à la classe à gauche $yH$ si et seulement si $x^{-1}y\in H$. La loi de groupe n'est compatible avec la relation d'équivalence que si $H$ est un sous-groupe distingué de $G$.
On peut bien relier ça à l'action à droite de $H$ sur $G$ par translation : $$\begin{aligned} G\times H& \longrightarrow G\\ (x,h)&\longmapsto xh\end{aligned}$$ Les classes d'équivalence sont les orbites de cette action. Une curiosité : les classes à gauche sont les orbites pour l'action à droite par translation. Autre chose, l'action par translation n'est absolument pas l'action par conjugaison.

bridgslam

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Re : actions de groupes

Bonjour,

Je crois qu'on peut aussi parler d'action à gauche en posant $h * x = xh^{-1}$.
Ayant plus coutume de noter formellement l'opérateur à gauche ( comme pour les scalaires sur un ev) , c'est ce que je souhaitais que 4xzvlr écrive.

Michel Coste

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Re : actions de groupes

Une action à droite du groupe $G$ est une action à gauche de son groupe opposé. Il ne faut pas ostraciser les actions à droite.

4xzvlr

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Re : actions de groupes

Bonjour , je vais faire l’effort d’apprendre les bases de latex pour que je puisse être plus clair , désolé.

Sinon je parlais dans le cas où on considère un groupe G, et on le fait agir sur lui-même par conjugaison, les orbites seront les classes de conjugaison de G.

Cordialement.

Bonjour,

C'est incompréhensible:
h. g = ?

Dernière modification par 4xzvlr (03-02-2026 22:47:19)

4xzvlr

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Re : actions de groupes

Merci pour votre réponse , je l’avais déjà regardé ça qu’on pouvait passer d’une action à droite à une action à gauche.

cordialement.

Bonjour,

Je crois qu'on peut aussi parler d'action à gauche en posant $h * x = xh^{-1}$.
Ayant plus coutume de noter formellement l'opérateur à gauche ( comme pour les scalaires sur un ev) , c'est ce que je souhaitais que 4xzvlr écrive.

4xzvlr

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Re : actions de groupes

Merci pour votre réponse, cependant je suis entrain de voir un cours sur les groupes quotient, mais je me suis poser une question, en fait j’ai compris le concept de quotienter un groupe (c’est à dire le processus à effectuer )mais cependant je ne vois pas l’information qu’un groupe quotient nous importe sur le groupe de départ. Par exemple on prend S_3 le groupe de permutations, on a S_3/A_3 un groupe isomorphe à Z/2Z, le fait qu’on a cet isomorphe , ça nous donne des informations sur la structure du groupe  S_3/A_3 mais je ne vois pas qu’est-ce que ça peut nous apporter comme information sur le groupe S_3 ..

Cordialement.

Une action à droite du groupe $G$ est une action à gauche de son groupe opposé. Il ne faut pas ostraciser les actions à droite.

bridgslam

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Re : actions de groupes

Bonjour,

Il peut par exemple donner des informations assez condensées sur des propriétés qu'entretient le sous-groupe distingué H dans G vis à vis du groupe G, tel que G/H est abélien ssi H contient tout les éléments de la forme $xyx^{-1}y^{-1}$.