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Galopin01

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cercles et triangles équilatéraux

Bonjour,
Ma question est à deux entrées : géométrique et mathématique.
L’illustration jointe est effectuée de manière expérimentale à partir d’un cercle O de diamètre = 20 cm (non représenté)

Il est supposé qu’on puisse dessiner 3 cercles inscrits égaux et tangents dans un triangle équilatéral.
A partir du cercle on construit un triangle équilatéral ABC et les 3 cercles tangents inscrits dans ce triangle (cercles de centres OA, OB et OC) seul OB est représenté.
Dans mon illustration ces cercles ne sont pas vraiment tangents c’est juste un croquis rapide avec les moyens d’Excel… mais je suppose que c’est compréhensible.

Les dimensions que je donne sont purement indicatives. Ce qui m’intéresse c’est la méthode de dessin (au compas) et la méthode de calcul via Excel (si possible !) de la position des centres des cercles inscrits dans le triangle ABC.
1 - Comment calculer le diamètre du cercle de centre OB
2 - La distance B-OB (ou O-OB) pour le reste j’arriverai à généraliser. L’objectif ultérieur étant de construire le triangle DEF et les autres cercles inscrits… La méthode expérimentale me donne un triangle DEF de coté 24 cm (env)
Nota : L’ordre des questions/réponses est sans importance.

3 - Dans le triangle DEF il est supposé que les 3 cercles tangents aux précédents sont de même dimension. Cette supposition est-elle vraie ?
Question bonus facultative : Comment calculer DEF ? (pour contrôle)
Galopin01 a 77 ans ! Merci de formuler vos réponses comme pour un lycéen plutôt sous-doué SVP…
Merci

jelobreuil

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Re : cercles et triangles équilatéraux

Bonsoir Galopin01,
Pour trouver les positions des centres des trois premiers cercles, il te faut simplement tracer les trois hauteurs du triangle ABC, et les bissectrices des six angles droits que ces hauteurs forment avec les côtés du triangle. Tu constateras que ces bissectrices se coupent deux à deux sur les hauteurs : ces trois points d'intersection sont les centres des trois premiers cercles. Ce sont les sommets d'un petit triangle équilatéral. Partant de celui-ci, tu prends le point symétrique de chaque sommet par rapport au côté opposé : tu obtiens ainsi les trois centres des autres cercles !
Je vais maintenant faire les calculs, je t'en indiquerai les résultats dans un autre message.
Bien cordialement, JLB

DSBmath

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Re : cercles et triangles équilatéraux

Bonjour
Quelques éléments de réponse avec cette image en plus de la réponse de Jelobreuil

Dernière modification par DSBmath (02-02-2026 20:07:26)

Galopin01

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Re : cercles et triangles équilatéraux

Bonsoir,
Merci pour cette réponse. Je vais digérer ça. Compte tenu de mes handicaps, il me faudra un temps certain... mais je te reviens si j'ai un souci de compréhension et surtout pour les formules. J'en aurai surement besoin pour confronter la théorie et la pratique car j'ai deux mains gauche pour le travail au compas et c'est peu de le dire !
Mais ça me fait déjà une base de départ.
Pour la question bonus il s'agit de calculer la longueur des cotés de DEF mais si c'est trop compliqué ne te casse pas trop la tête : C'est vraiment couper les cheveux en quatre, mais au final, ça ne m'est pas réellement utile pour ma construction.
Merci encore et bonne nuit.
A+

jelobreuil

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Re : cercles et triangles équilatéraux

re-Bonsoir, Galopin01,
Pour la longueur des côtés de ton triangle DEF, je trouve que le rapport de cette longueur à celle des côtés de ABC vaut 5(rac3 - 1)/2, soit à très peu près 1,83 (1,830127018922...) ("rac3" signifie "racine carrée de 3").
En fait, les six bissectrices d'angles droits que tu auras tracées te fournissent six points d'intersection deux à deux, dont trois situés sur les hauteurs de ABC, donc à l'intérieur de ABC (les centres de tes trois premiers petits cercles), et trois autres situés sur les prolongements des hauteurs au-delà des côtés. Eh bien, ce sont là tes trois points D, E et F ! 
Je préparerai demain un document avec une figure et les calculs que j'ai menés.
Bien cordialement, JLB

DSBmath

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Re : cercles et triangles équilatéraux

Bonjour Galopin01 et Jelobreuil

En posant R le rayon du cercle qui porte A,B,C donc de diamètre 2R

J'ai obtenu

erreur de formule

Dernière modification par DSBmath (03-02-2026 11:10:36)

Galopin01

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Re : cercles et triangles équilatéraux

Bonjour jelobreuil, DSBmath,
Quelle productivité !
Il faut que je teste tout ça, mais...
DSBmath :
A première vue cette phrase me pose problème :
En posant R le rayon du cercle qui porte A,B,C,D,E,F donc de diamètre 2R
Je suppose que c'est juste une coquille : ABCDEF ne sont pas sur le même cercle.
Je comprend R rayon du cercle ABC donc...
Question subsidiaire :  Quelle logiciel utilisez vous pour faire des croquis d'une telle précision ?
Il me faudra un peu de temps pour bien digérer et mettre en application.
Je vous reviens après application. Ce qui peu demander un bon moment car je n'ai plus votre cadence !
Cordialement.
A+

jelobreuil

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Re : cercles et triangles équilatéraux

Bonjour Galopin01,
Je réponds de suite à ta question concernant le logiciel : c'est Geogebra, en accès libre.
Je me mets à la confection du document annoncé.
Bonne journée, à plus tard !
JLB

DSBmath

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Re : cercles et triangles équilatéraux

Bonjour Galopin01

Oui je voulais dire le cercle qui porte A,B,C de rayon R

mais je me suis trompé dans mon calcul

Ci-dessous le calcul corrigé

$DE= \dfrac {3+\sqrt {3}}{2}\times R$

Dernière modification par DSBmath (03-02-2026 11:22:07)

Galopin01

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Re : cercles et triangles équilatéraux

Bonjour,
Pour le dessin c'est très clair, pour les formules ça a été un peu une surprise :
DSBmath Hier 18:39:09
avec R = 10 :
A première vue la formule pour A'B' ne semble pas correcte (en fait elle donne exactement le même résultat que la formule pour AA' (6.33974596215561)
Ben c'est pourtant exact ! Même si en regardant le dessin ce n'est pas une évidence !
Enfin ta dernière formule semble exacte. DE= 23.66025404 ce qui infirme le calcul de jelobreuil (désolé ! ) Le rapport DE/AB =1,37 env.
Merci encore ceci clôt le sujet.
Merci également pour le renseignement (Geogebra)
Cordialement.
A+

DSBmath

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Re : cercles et triangles équilatéraux

Bonjour,
Enfin ta dernière formule semble exacte.

Bonjour Galopin01 & Jelobreuil
Elle est exacte celle-là
J'avais placé une autre formule mais qui ne sert pas dans ce sujet (en clair je me suis emmêlé les pinceaux cette nuit lol)
Pour les autres formules on peut les simplifier facilement car on est dans un sous-corps des réels
Du coup en simplifiant on a
$AA'=BB'=CC'=A'B'=B'C'=C'A'=\dfrac {3-\sqrt {3}}{2}\times R$

Attention avec le signe négatif elle est différente de  $DE=\dfrac {3+\sqrt {3}}{2}\times R$

cailloux

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Re : cercles et triangles équilatéraux

Bonjour,
Une construction alternative à celle de Jelobreuil où $a,b,c$ sont les milieux des côtés du triangle $ABC$ :

On peut l'adapter pour la suite.

[Edit]Ajout de l'"adaptation".

Dernière modification par cailloux (05-02-2026 15:10:33)

jelobreuil

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Re : cercles et triangles équilatéraux

Galopin01, Les formules que t'a indiquées DSBmaths pour AA' et A'B' sont IDENTIQUES !
En effet, en réduisant au même dénominateur, 1 - 1/(1 + rac3) = (1 + rac3 -1)/(1 + rac3) = (rac3)/(1 + rac3).
Il n'est donc pas surprenant qu'elles donnent le même résultat.
Je n'ai pas encore terminé mon travail, j'en suis à peu près à la moitié. Je vais essayer de terminer ce soir...
Bien cordialement, JLB
PS : les deux derniers messages avant celui-ci, de DSBmaths et Cailloux, sont arrivés pendant que je l'écrivais...
Et en effet, Cailloux, ta construction des centres des petits cercles est de beaucoup plus simple que la mienne : c'est la bonne surprise du triangle équilatéral, il y a des égalités de distances insoupçonnées !

Dernière modification par jelobreuil (03-02-2026 14:54:53)

DSBmath

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Re : cercles et triangles équilatéraux

Bonjour Jelobreuil et Galopin01 et Cailloux

La droite (FD) est la médiatrice du segment [AA'] , identiquement la droite (DE) est la médiatrice du segment [BB'] , identiquement la droite (EF) est la médiatrice du segment [CC']

Du coup le rayon des petits cercles est donné par l'expression $\dfrac {3-\sqrt {3}}{4}\times R$

Dernière modification par DSBmath (03-02-2026 15:16:53)

jelobreuil

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Re : cercles et triangles équilatéraux

DSBmath, je suis d'accord avec toi pour le rayon des petits cercles, il vaut bien ce que tu dis : moi, j'ai trouvé qu'il est égal à c.(rac3 - 1)/4, où c représente le côté de ABC. Comme R = c/rac3, nous tombons bien sur la même chose.
Je n'ai pas encore compris l'erreur que j'ai faite hier soir sur le rapport DE/AB), mais il est certain que je l'ai faite !
A plus tard, JLB

cailloux

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Re : cercles et triangles équilatéraux

Bonjour à tous,
Je me permets quelques commentaires qui ne vont peut-être pas plaire à tout le monde :
En Géométrie (même élémentaire) les calculs sont souvent nécessaires indispensables. Mais en toute circonstance, ils doivent aboutir à des constructions (règle et compas si possible, logicielles sinon).
On fait des calculs. Soit. On est à peine à la moitié du chemin si on veut faire de la belle Géométrie. Il faut absolument les interpréter.
Pour ma part, à partir d'un triangle équilatéral $ABC$ de côté $u$, j'ai prouvé par calculs (voir ma figure) que $aO_A=bO_B=cO_C=\dfrac{u}{2}$
D'où la construction du message 12.
Il reste que jelobreuil a parfaitement compris ce schéma en proposant une construction. Grand mérite à lui ! Il est tout à fait dans l'esprit de ce beau forum de Géométrie.
Maintenant une question qui n'a presque rien à voir avec ce sujet (quoique ?) :
Je suis certain qu'il a été question ailleurs d'un trapèze avec 3 côtés égaux. Un "ailleurs" que jelobreuil connaît très bien.
J'ai été tout à fait incapable de retrouver ce sujet.
Amicalement.
[Edit] Correction d'une vilaine fôte.

Dernière modification par cailloux (03-02-2026 18:27:46)

DSBmath

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Re : cercles et triangles équilatéraux

Bonjour Cailloux
C'est peut être ce sujet là > https://les-mathematiques.net/vanilla/d … C3%A9gaux.

jelobreuil

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Re : cercles et triangles équilatéraux

Non, DSBmath, je ne pense pas que ce soit ce sujet-là, car il est beaucoup trop ancien : je n'étais pas sur les-maths.net à cette époque... Je vais essayer de retrouver le sujet en question, il me semble qu'il est récent.
Bien cordialement, JLB
PS : voici la discussion, voir mon message du 26 janvier.
https://les-mathematiques.net/vanilla/d … nt/2554790

Dernière modification par jelobreuil (03-02-2026 18:56:33)

cailloux

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Re : cercles et triangles équilatéraux

Bonjour à tous,
Et merci à vous deux pour vos efforts.
Dans mes souvenirs il ne s'agit d'aucun de ces deux fils mais ma mémoire est peut-être défaillante ...

Galopin01

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Re : cercles et triangles équilatéraux

Merci pour toutes ces précisions.
Pour les diamètres des petits cercles je me suis contenté de AA'/2, c'est plus trivial que #14 mais ça répond exactement à mon besoin...

J'ai du faire une manip involontaire, du coup le forum est maintenant en couleurs sombres ce qui ne me convient pas quelqu'un sait-il comment y remédier ?

Merci encore.
A+