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cailloux

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Demi-disque et triangle

Bonjour à tous,
N'ayant aucune imagination, je pioche sur le net des problèmes qui me semblent intéressants.
En voici un qui m'a plu à plus d'un titre :

On se donne un triangle $ABC$ et un point $P$ sur $[BC]$.
On demande de construire (règle et compas) le(s?) demi-disque(s?) tangent en $P$ à $[BC]$ dont les extrémités du diamètre sont portées par les droites $(AB)$ et $(AC)$

Cet exercice a de petits mérites : il rappelle les demi-disques déjà vus ici : Cercles tangents mais aussi une méthode de résolution vue là : Rectangle et droites
Encore des constructions ! Oui mais je ne vous infligerai pas les constructions relatives aux intersections d'une droite et d'une conique. Dès l'instant où on a identifié la conique en question par ses asymptotes (oui, il y a de l'hyperbole dans l'air) et un point, on supposera connues les constructions donnant ses intersections avec une droite. Autrement dit, on laissera faire notre logiciel préféré.
Je suis tout à fait persuadé que notre ami Imod ne fera qu'une bouchée de ce problème.
Venons-en au grand mérite : contre toute attente, une construction (qui n'a rien à voir avec la précédente) est tout à fait du niveau d'un collégien. Bien sûr, la mettre au point aujourd'hui est hors de sa portée. On y reviendra plus tard si vous le voulez bien ...

Dernière modification par cailloux (26-01-2026 15:26:51)

DSBmath

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Re : Demi-disque et triangle

Bonjour

C'est une histoire de cercles orthogonaux

cailloux

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Re : Demi-disque et triangle

Bonjour,
"Une histoire" n'est pas très constructive mais pourquoi pas. Si tu as des idées, il faut les développer.
Je signale à toutes fins utiles que tout cercle tangent en $P$ à $(BC)$ est orthogonal à tes deux cercles.

DSBmath

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Re : Demi-disque et triangle

Bonjour Cailloux

Oui je suis bête et comme je considère que ce problème est plus urgent que l'autre (car plus fondamental pour moi) je vais de ce pas m'en occuper.
J'espère arriver à une construction d'ici demain

cailloux

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Re : Demi-disque et triangle

Bonsoir DSBmath,
Suite à ton dernier message, j'avais immédiatement réagi en écrivant un message que je n'ai finalement pas posté (j'avais pris la précaution de le sauver en texte au cas où). Je m'étais dit : "attendons encore un peu".
Et puis, en relisant ce fil, j'ai vu ceci (qui m'a presque fâché) :

Oui je suis bête ...

En aucun cas ! En ces temps numériques, une excellente réaction est, en Géométrie dans une première étape, d'explorer la figure via un logiciel de géométrie dynamique.
Ce que tu as fait. Mon "signalement" ne visait qu'à t'éviter une impasse.
Du coup, je viens de récupérer le message en question dans mon Bloc notes. Le voici :

Bonjour DSBmath,
Je me permets un petit conseil : tu oublies provisoirement la construction "de niveau collège" facile à comprendre une fois faite mais (très) difficile à découvrir.
Tu peux t'inspirer du fil Rectangle et droites en particulier du message 13 où les méthodes employées sont exactement les mêmes.
En l’occurrence on peut par exemple déterminer le lieu de $Q$ lorsque $R$ décrit la droite $(AB)$.
Si hyperbole il y a (et il y a !), on pourra se limiter à la construction de ses asymptotes : une hyperbole est parfaitement déterminée pas ses asymptotes et un point.
La construction de ses éventuelles intersections avec une droite est supposée connue : on laissera faire GeoGebra (via l'équation de cette hyperbole dans un repère ad hoc).

Dernière modification par cailloux (05-02-2026 22:43:31)

DSBmath

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Re : Demi-disque et triangle

Bonjour Cailloux

J'étais parti faire comme d'habitude ce que je fais quand je dois trouver tout seul c'est à dire ici dans ce contexte traduire géométriquement parlant afin d'en faire une construction, l'inconnue d'un rapport d'une homothétie et je suis tombé ce matin sur votre message qui m'a ouvert les yeux
Effectivement je suis idiot car franchement j'aurai du avoir ce reflexe de faire ce que vous dites 

En l’occurrence on peut par exemple déterminer le lieu de $Q$ lorsque $R$ décrit la droite $(AB)$.
Si hyperbole il y a (et il y a !),

Dans l'image est cette hyperbole

Merci encore une fois Cailloux

cailloux

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Re : Demi-disque et triangle

Bonjour,
J'ai l'impression que tu as cherché le lieu de $R$ lorsque $Q$ décrit $(AC)$. Mais peu importe : ça revient au même.
Tu as ensuite déterminé $W$ comme intersection de ton hyperbole avec $(AB)$
Remarque qu'en général il y a une seconde intersection donc une seconde solution.
Une petite critique : tu as fait des "constructions logicielles" à commencer par ton hyperbole que tu as tracée avec la commande "Conique par 5 points" (avec $U$ et 4 points cachés obtenus à partir de $O_1,O_2,O_3,O_4$) du moins c'est ce qu'il me semble.
Je reviendrai plus tard sur la méthode que j'ai employée.

DSBmath

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Re : Demi-disque et triangle

Bonjour Cailloux
Oui je me suis donné cinq points à partir de là j'ai cinq points d'une conique et il suffit de savoir tracer l'intersection d'une conique dont on connait cinq points et d'une droite pour trouver W (là ça ne présente pas de difficulté en ce qui me concerne et du coup je demande au logiciel de le faire pour moi sachant qu'en ce qui me concerne cela je sais le faire)
Vraiment merci Cailloux pour ce sujet et votre idée de solution
Maintenant il faut (psychiatriquement parlant c'est vital pour moi) que je retourne dans votre sujet carré et quatre droites : j'ai bientôt terminé 

Dernière modification par DSBmath (06-02-2026 14:27:05)

cailloux

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Re : Demi-disque et triangle

Bonjour DSBmath,
Je retiens ceci :

il suffit de savoir tracer l'intersection d'une conique dont on connait cinq points et d'une droite pour trouver W (là ça ne présente pas de difficulté en ce qui me concerne et du coup je demande au logiciel de le faire pour moi sachant qu'en ce qui me concerne cela je sais le faire)

Je suis fondamentalement d'accord : si les constructions sont connues, il est inutile de les faire figurer au risque d'obscurcir une figure; on les court-circuite avec le logiciel utilisé. Tu as raison.
Personnellement hélas, avec mon petit niveau, je ne les connais pas. Il y a probablement du Pascal là-dessous voire de la géométrie projective.
Mais il y a tout de même un léger problème : tu as supposé que le lieu était une conique (en l'occurrence une hyperbole). Rien, pour l'instant, ne permet de l'affirmer.
Comme déjà dit, je reviendrai avec une solution qui le prouve.
P.S. J'ai carrément abandonné mon sujet sur les carrés et 4 droites. Le but initial était de répondre (via la descriptive) à la question "Tétraèdres de Rupert". Les difficultés relatives au sujet initial me semblent insurmontables.
En tout cas, bon courage à toi !

DSBmath

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Re : Demi-disque et triangle

Bonjour DSBmath,
voire de la géométrie projective.

Oui et du birapport harmonique
(ABCDE) une conique bifocale et (d) une droite
On se donne un point M de cette droite dont on suppose ici qu'il est à l'extérieur  de la conique bifocale
Après avoir construit les deux foyers de cette conique on peut alors mener les deux tangentes de ce point M
Après avoir construit les deux points de contact P1 et P3 de ces deux tangentes alors ces deux points de contact forment la polaire de ce point M par rapport à notre conique
Notons J l'intersection de la polaire avec la droite (d)
alors il existe un point U tel que J  et U divisent harmoniquement le segment  [P1P3]
on mène ensuite les deux tangentes de ce point U
Les points de contact de ces deux tangentes sont l'intersection de (d) avec la conique

Par contre dans mon imaginaire Cailloux vous êtes la Pierre qui nous pulvérisera tous (comme l'a dit le Christ en son temps)
Alors pour moi je pense que vous savez tout cela mieux que moi
Si ce n'est pas le cas  faisons semblant que ce soit vrai

cailloux

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Re : Demi-disque et triangle

Bonne nuit DSBmath,
Bien que je ne sois pas un spécialiste, j'ai bien compris ta dernière construction. Mais il y a un mais :

Après avoir construit les deux foyers de cette conique ...

Là, tu verses dans une version euclidienne qui n'a rien à faire dans ta construction projective.
En clair, à partir de 5 points définissant une conique et une droite, les éventuelles intersections droite/conique doivent être construites uniquement à partir de droites sans passer par des foyers. Les évoquer est quasiment une hérésie projective.
C'est un point de détail mais il reste le principal :

Tu as supposé que le lieu était une conique (en l'occurrence une hyperbole). Rien, pour l'instant, ne permet de l'affirmer.

Dernière modification par cailloux (07-02-2026 00:31:35)

DSBmath

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Re : Demi-disque et triangle

Bonjour Cailloux

Bien que je ne sois pas un spécialiste

Je ne suis pas mathématicien (rappel voir mon autre sujet rubrique café que j'ai ouvert exprès après avoir posté ici hier soir car je savais que vous alliez dire cela) .
Je suis un espèce de "punk" donc en tout cas pas du tout non plus un spécialiste

  Là, tu verses dans une version euclidienne qui n'a rien à faire dans ta construction projective.

Il est vrai que pour construire les deux foyers qui vont permettre de construire les deux tangentes je reste en plan affine euclidien (j'ai des parallèles et des perpendiculaires à tracer tout à fait euclidiennes.
Il est vrai aussi que pour construire les deux tangentes là encore je reste en plan affine euclidien.
Mais ensuite une fois qu'on a les deux tangentes menées du point M on n'est pas en plan euclidien en effet:
Le fait de pouvoir tracer le point de tangence d'une tangente d'une conique est l'utilisation du théorème dual de Pascal lequel est sur le plan projectif. 

Tu as supposé que le lieu était une conique (en l'occurrence une hyperbole). Rien, pour l'instant, ne permet de l'affirmer.

Pour la supposition qu'on a une hyperbole eh bien je peux voir si avec six points (moi j'ai pris cinq points U,V1,V2,V3,V4) construits à partir de U1,U2,U3,U4 sur cette perpendiculaire je peux voir avec un sixième point V5 par démonstration si ces six points sont bien ceux d'une conique.

Dernière modification par DSBmath (07-02-2026 00:56:11)

DSBmath

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Re : Demi-disque et triangle

Bonjour Cailloux

Maintenant il faut (psychiatriquement parlant c'est vital pour moi) que je retourne dans votre sujet carré et quatre droites : j'ai bientôt terminé 

oui bientôt (il me reste plus qu'une dernière demo à faire et ensuite c'est tout droit)
Je n'ai pas eu le temps de la faire cette nuit mais vous vous en doutez un peu non? 
Bon alors rendez vous sur votre autre sujet

Dernière modification par DSBmath (07-02-2026 13:05:56)

cailloux

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Re : Demi-disque et triangle

Bonjour,
Une solution à la portée d'un lycéen en choisissant un repère orthonormé d'origine $P$ :
La transformation $T:\,M(x,y)\rightarrow M'(x',y')$ est définie par $x'=-x$ et $xx'+yy'=0$
Soit \begin{cases}x'=-x\\y'=\dfrac{x^2}{y}\end{cases}

Vu que $T$ est une involution, la droite $(AB)$ d'équation $ax+by+c=0$ est transformée en la courbe d'équation $-ax+b\dfrac{x^2}{y}+c=0$
Soit $$y=\dfrac{bx^2}{ax-c}$$
qui est bien l'équation d'une hyperbole si $ac\not=0$. Cas $a=0$ (parabole) ou $c=0$ (droite) à examiner.
On peut l'écrire $y=\dfrac{b}{a}x+\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{bc^2}{a^2(ax-c)}$ qui donne immédiatement l'équation de ses deux asymptotes.
L'important est leurs constructions géométriques (voir figure).
Une hyperbole est parfaitement définie par ses asymptotes et un point (ici $P$).
On sait (voir le fil Rectangle et droites) construire ses éventuelles intersections avec une droite. On laisse donc faire GeoGebra :

[Edit]
P.S.1 Au cas où mes messages en indisposeraient certains, je rappelle mon introduction :

N'ayant aucune imagination, je pioche sur le net des problèmes qui me semblent intéressants...

et je précise : ce problème et ses solutions proviennent d'un site voisin bien connu d'un certain Jelobreuil.
Je n'ai rien inventé mais je suis résolument partisan d'une transmission transversale des savoirs.
P.S.2 Suite à ce sujet, j'ai commandé le 26 janvier le bouquin de Julius Petersen "Méthodes et théories pour les problèmes de constructions géométriques 1880" aux Éditions Gabay.
Commande enregistrée et encaissée le jour même. Aujourd'hui, je n'ai toujours rien reçu mais après contact téléphonique, j'ai bon espoir.

Dernière modification par cailloux (08-02-2026 16:36:04)

DSBmath

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Re : Demi-disque et triangle

Merci Caillloux
Oui je m'y suis pris autrement (en fait je ne suis pas allé voir dans ce sujet "rectangle" )
Personnellement je ne voulais pas me dire que c'était une hyperbole et penser à ses asymptotes
Je me suis dit bah construisons un bidule par cinq points et voyons si c'est bien une conique et si (BC) est bien une tangente
Je pense que c'est du niveau Lycée moi aussi mon bidule mais ceci dit je n'y connais rien en niveau car je ne suis jamais allé au lycée (je suis travailleur du bâtiment : j'ai commencé à 16 ans)
Bon rendez vous donc à votre autre sujet et voyons voir si finalement j'arrive à faire quelque chose ou si je m'étale lamentablement (c'est possible mais je pense que non)

cailloux

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Re : Demi-disque et triangle

Bonjour DSBmath,
je viens de voir ceci :

je ne suis jamais allé au lycée (je suis travailleur du bâtiment : j'ai commencé à 16 ans)

qui mérite quelques commentaires :
Je ne m'étendrai pas sur tes compétences mathématiques (avérées et méritoires).
En ces tristes temps où l’Éducation Nationale a démissionné depuis fort longtemps, les mathématiques ne sont pas les seules victimes.
Il y aussi le Français.
De mon point de vue, ce qui est le plus étonnant, c'est que tu ne fais aucune faute d’orthographe : extraordinaire !
Confidence pour confidence, nous sommes quasiment "collègues" :
J'ai passé ma vie professionnelle dans les mines de charbon au "fond" (Comme toi : pas drôle tous les jours avec des évènements abominables).
Porte toi bien.

Dernière modification par cailloux (07-02-2026 17:33:44)

DSBmath

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Re : Demi-disque et triangle

Confidence pour confidence, nous sommes quasiment "collègues" :
J'ai passé ma vie professionnelle dans les mines de charbon au "fond" (Comme toi : pas drôle tous les jours avec des évènements abominables).

Bonjour Camarade Cailloux

Ah non moi j'ai été très très bien payé !
Comme la fois où mon chef m'a demandé de monter sur un échafaudage à roulette avec lui (il savait qu'une de ses roues était mal foutue) et on est monté tous les deux, on est tombés tous les deux mais moi je n'avais rien et j'ai même dansé devant les flics en disant "moi j'ai rien moi j'ai rien moi j'ai rien"  (je suis très très sauvage)
Bon sa femme n'était pas contente quand je l'ai vu à l'hôpital et le patron m'a accusé d'être tombé sur mon chef.
C'est faux! Moi je sais tomber et je sais aussi ne jamais tomber malade et ça cela vaut tout l'or de ce foutu monde.

Dernière modification par DSBmath (07-02-2026 17:44:44)