Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique

Borassus · 28-01-2026 20:32:25

Bonsoir ou bonjour (suivant l'heure à laquelle est lu ce message) à toutes et à tous !

Ça alors ! Borassus réapparaît après un long (trop long ? :-) silence !

Silence dont je vous prie de m'excuser : pris à fond par mon projet d'ouvrages numériques — notamment par la partie technique, véritablement sophistiquée, sur laquelle j'ai par exemple travaillé cet été entre 14 et 18 heures par jour — et mes cours, je n'ai plus vraiment l'occasion de lancer des débats sur mon fotum préféré.

Je reviens d'un cours avec un élève de Première à qui j'expliquais que la somme des termes consécutifs, du rang $p$ au rang $n$, d'une suite géométrique est égale au premier terme multiplié par la somme de toutes les puissances de $0$ à $n-p$ de la raison, cette somme se traduisant par la formule
$\dfrac{1 - q^{n - p +1}}{1 - q}$,
c'est-à-dire le quotient de 1 moins la raison élevée à la puissance égale au nombre de termes sur la différence 1 - q.

Mais cette formule relève d'un artifice de calcul :
$S'_n = 1 + q + q^2 + \ldots + q^{n - p}$

$qS'_n = q + q^2 + q^3 + \ldots + q^{n - p + 1}$

$S'_n - qS'_n = 1 - q^{n - p + 1}$

d'où $S'_n = \dfrac{1 - q^{n - p +1}}{1 - q}$

Quelle signification logique peut-on attribuer à cette expression ?
Que concrètement représente-t-elle, en dehors de l'expression "formuliste" de la somme des puissances de $0$ à $n-p$ de la raison ?

Merci de vos précieux, et toujours pertinents, points de vue !
Borassus le revenant

PS : La logique de la somme de termes consécutifs d'une suite artithmétique s'exprime facilement : c'est comme si tous ces termes étaient égaux à la moyenne du premier et du dernier termes.
D'où la somme de ces termes est égale au nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier termes :
$S_n = (n - p + 1) \times \dfrac{u_p + u_n}{2}$

Je ne sais pas exprimer aussi clairement la logique de la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.

Dernière modification par Borassus (28-01-2026 21:44:49)

DrStone · 29-01-2026 00:33:41

Bonjour Borassus.

Une suite réelle $(u_n)_{n\in\mathbf{N}}$ est une suite arithmétique si et seulement si

$$\begin{equation}
\left(\forall n\in\mathbf{N}^*\right) \quad \left(u_n=\frac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}\right).
\end{equation}$$

Dès lors, comme tu t'en es déjà rendu compte, chaque terme (autre que le terme $u_0$) de la suite est la moyenne arithmétique des deux termes qui l'encadrent — d'où le nom de suite arithmétique —.

De même, une suite réelle $(u_n)_{n\in\mathbf{N}}$ est une suite géométrique si et seulement si

$$\begin{equation}
\left(\forall n\in\mathbf{N}^*\right) \quad \left(u^2_n=u_{n-1}u_{n+1}\right)
\end{equation}$$

Chaque terme d'une suite géométrique (autre que le terme $u_0$) est alors la moyenne géométrique des deux termes qui l'encadrent — d'où, cette fois-ci, le nom de suite géométrique —.

Je te laisse démontrer les deux égalités qui sont, somme toute, assez simples… et en tirer les conclusions que tu veux sur ces expressions… car, tout comme gebrane ci-dessous, je ne comprends pas vraiment ce que tu cherches à dire ni même les résultats que recherches ici.

Dernière modification par DrStone (31-01-2026 21:12:06)

gebrane · 29-01-2026 01:20:29

Bonjour, veux tu dire quoi par la somme des termes consécutifs, du rang p au rang n
,

Borassus · 29-01-2026 12:10:29

Bonjour cher Doc (cela faisait longtemps :-)

Merci GRANDEMENT de ta réponse qui va avoir un impact important auprès de mes élèves de Première (cette année étonnamment majoritaires) car les définitions que tu rappelles rendent parfaitement logiques les appellations "arithmétique" et "géométrique".

C'est absolument étonnant :
j'ai vérifié dans TOUS mes manuels et recueils d'exercices de Première S et option maths — j'achète quasi systématiquement les manuels de mes élèves — ; les seules définitions que je vois, aussi bien dans les manuels que dans les polycopiés et notes de cours, sont les définitions récurrentes
$u_{n+1} = u_n + r$
et
$u_{n+1} = u_n \times q$
(je vois parfois pour la seconde $u_{n+1} = q \times u_n$ ... ) .

A tel point que j'ai moi-même oublié les deux définitions logiques de base !

Je vais donc commencer mes cours sur les suites arithmétiques et géométrqiues (mes élèves sont actuellement en plein dedans) par les questions
« Qu'est-ce que la moyenne arithmétique de deux nombres (deux ou plus) ? »
et
« Qu'est-ce que la moyenne géométrique de deux nombres (deux ou plus) ? »
et aboutir aux deux formulations de récurrence en montrant que,
pour une suite arithmétique, la différence de deux termes consécutifs est constante — ce qui mène à la relation de récurrence classique $u_{n+1} = u_n + r$ — ,
et que, pour une suite géométrique, le rapport de deux termes consécutifs est constant — ce qui mène à la relation de récurrence classique $u_{n+1} = u_n \times q$ .

C'est une démarche BEAUCOUP plus constructive que de simplement asséner les définitions sur la base des relations de récurrence !

Ta précieuse intervention va complètement chambouler ma façon d'expliquer les suites arithmétiques et géométriques ! Merciii !!!
__________________________________

Pour ce qui est de ta question et de celle de gebrane, ce que je demandais est

« Dans la formule exprimant la somme des termes $u_p$ à $u_n$ d'une suite géométrique :
$u_p + u_{p+1} + u_{p+2} + \ldots + u_n = u_p \times \dfrac{1 - q^{n - p +1}}{1 - q}$
quelle signification logique, facilement compréhensible, peut-on attribuer au facteur $\dfrac{1 - q^{n - p +1}}{1 - q}$ ?

gebrane · 29-01-2026 12:30:04

Pour moi ta somme n'est autre que l'identité remarquable
$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b....+ab^{n-2}+b^{n-1})$$

Borassus · 29-01-2026 12:57:26

Bien sûr, gebrane !

C'est bien ce que j'écrivais dans mon message introductif :
« Que concrètement représente-t-elle, en dehors de l'expression "formuliste" de la somme des puissances de 0 à n − p de la raison ? »
C'est-à-dire $q^0 + q^1 + q^2 + \dots + q^{n-p}$

Mais, au-delà de l'utilisation implicite de l'identité remarquable, je cherche à attribuer une signification concrète à ce fameux facteur $\dfrac{1 - q^{n - p +1}}{1 - q}$ sur un modèle similaire à l'expression correspondant à la somme des termes $u_p$ à $u_n$ d'une suite arithmétique :
nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier termes.

La seule logique que je trouve pour l'instant pour la somme des termes $u_p$ à $u_n$ d'une suite géométrique est :
premier terme multiplié par la somme des puissance de $0$ à $n - p$ de la raison,
cette somme se traduisant par l'expression $ \dfrac{1 - q^{n - p +1}}{1 - q}$ .

C'est-à-dire $1$ moins la raison élevée à la puissance "nombre de termes" sur $1$ moins la raison.

Mais cela reste à mon sens une formule "apprise", et non une formule "comprise".
Pour qu'elle devienne une formule comprise, il faut que le facteur en question ait une dénomination concrète facilement compréhensible.

Dernière modification par Borassus (29-01-2026 13:16:17)

Borassus · 29-01-2026 17:49:35

Idée qui m'est venue en étant dans le métro :

Si on inverse les signes du numérateur et du dénominateur, on obtient une comparaison relative entre l'écart de la puissance $n - p$ de la raison et la puissance $0$ de celle-ci, et l'écart de cette raison et de la puissance $0$ de celle-ci.

Est-ce qu'à votre avis cette logique de comparaison relative entre les deux écarts est exploitable ?

Michel Coste · 29-01-2026 21:25:11

Bonsoir,
Ta question est vaine, à mon avis.
Dans le cas d'une progression arithmétique, on additionne à chaque fois la raison, et comme on cherche la somme des termes, ça colle bien avec la moyenne arithmétique.
Dans le cas d'une progression géométrique, on multiplie à chaque fois par la raison, et comme on cherche la somme des termes, ça ne colle plus. Si on cherchait le produit des termes, ça collerait avec la moyenne géométrique.

Borassus · 01-02-2026 20:19:39

Bonsoir Michel, bonsoir à toutes et tous,

Comme c'est toujours le cas, ton intervention m'est éminemment précieuse, et j'en comprends progressivement la portée.
Merci grandement !

Il me faut encore un peu de temps pour bien maîtriser le concept du produit des termes d'une suite géométrique, qui n'est malheureusement pas enseigné au lycée (on ne présente QUE la somme des termes, le produit étant plutôt caché dans des exercices de Terminale traitant du logarithme népérien).
Je m'efforcerai d'expliquer demain ou après-demain, sans toutefois le garantir, la compréhension que tu as générée.
Ce message est donc un message d'attente.

Bonne soirée à tous, et bon démarrage de la semaine qui vient.

Borassus · 02-02-2026 15:51:54

Bonjour à toutes et à tous,

Voici donc le raisonnement induit par l'intervention de Michel.

Soit $(u_n)$ une suite géométrique dont tous les termes sont positifs (pour simplifier dans un premier temps).
Le raisonnement consiste à calculer le produit des termes de $u_p$ à $u_n$ — c'est-à-dire le produit de $N = n - p +1$ termes successifs.

On a d'abord
$u_p = u_p \times q^0$
$u_{p+1} = u_p \times q^1$
$u_{p+2} = u_p \times q^2$
$u_{p+3} = u_p \times q^3$
$\vdots$
$u_{n} = u_p \times q^{n-p}$

En remarquant que $n \,-\, p = N -1$ , le produit des termes de $u_p$ à $u_n$ est égal à

$u_p^N \times q^{0 \,+\, 1 \,+\, 2 + \ldots \,+\, (N-1)}$

$=\, u_p^N \times q^{\frac{(N-1)N}{\vphantom{2^2}2}}$

$=\, \left( u_p \times q^{\frac{N-1}{\vphantom{2^2}2}} \right)^N$

$=\, \left( \sqrt{u_p \vphantom{X}} \times \sqrt{u_p} \times \sqrt{q^{n-p} \vphantom{X}} \right)^N$

$=\, \left( \sqrt{u_p \vphantom{X}} \times \sqrt{u_p \times q^{n-p} \vphantom{X^2}} \right)^N$

$=\, \left( \sqrt{u_p \vphantom{X}} \times \sqrt{u_n \vphantom{X}} \right)^N$

$=\, \left( \sqrt{u_p \times u_n \vphantom{X}} \,\right)^N$

Le produit des $N$ termes de $u_p$ à $u_n$ est donc égal à la moyenne géométrique du premier et du dernier terme, élevée à la puissance "nombre de termes". (C'est comme tous les termes étaient égaux à la moyenne géométrique du premier et du dernier termes.)

Oh que c'est conceptuellement plaisant !

La somme des $N$ termes de $u_p$ à $u_n$ des termes d'une suite arithmétique est égale au produit du nombre de termes par la moyenne arithmétique du premier et du dernier termes. (C'est comme si tous les termes étaient égaux à cette moyenne.)
Le produit des $N$ termes de $u_p$ à $u_n$ des termes d'une suite géométrique est égal à la moyenne géométrique du premier et du dernier termes, élevée à la puissance "nombre de termes". (C'est comme si tous les termes étaient égaux à cette moyenne.)

Effectivement, la somme des $N$ termes de $u_p$ à $u_n$ d'une suite géométrique est une sorte de bizarrerie hybride mélangeant deux opérations de natures différentes, la sommation et le produit.

Mercii Michel !!

PS : Peut-on limiter la restriction initiale « tous les termes positifs » à « premier et dernier termes de même signe » ?

PPSS : Je crois me souvenir d'avoir vu dans tel ou tel ouvrage le produit des termes d'une suite géométrique.
Mais comme je n'ai pas l'occasion de le pratiquer auprès de mes élèves du fait qu'il est en dehors du programme de lycée, je n'y ai pas vraiment fait attention.
Maintenant, je l'expliquerai systématiquement à mes élèves de Première et de Terminale.

Dernière modification par Borassus (02-02-2026 16:01:44)

DrStone · 02-02-2026 22:26:39

Bonjour Borassus.

Ne le prends pas mal, mais je n'arrive pas réellement à voir en quoi tout ceci pourrait réellement être pertinent pour des lycéens de 2026…

(déjà que ça ne l'était pas à mon époque — où nos professeurs se contentaient des deux théorèmes que j'ai donnés plus haut —)

Veux-tu bien développer en quoi ça l'est ?

Merci. :=)

Dernière modification par DrStone (02-02-2026 22:27:06)

Michel Coste · 03-02-2026 11:55:58

@Borassus : pour modérer ton enthousiasme, ce qui est vraiment utile pour une progression géométrique, c'est bien la somme des termes et pas leur produit.
Le fait que la même "philosophie" en termes de moyenne s'applique pour la somme des termes d'une progression arithmétique et pour le produit des termes d'une progression géométrique, c'est simplement que l'on passe d'une situation à l'autre par exponentielle/logarithme.
Pour revenir à la façon d'illustrer les formules , dans le cas d'une progression arithmétique il y a le dispositif bien connu qui consiste à recopier la progression en inversant l'ordre : $$\begin{array}{cccccc}0&1&2&\ldots&n-1&n\\n&n-1&n-2&\ldots&1&0\end{array}$$ et à faire la somme des deux lignes pour trouver $n(n+1)$.
Dans le cas d'une progression géométrique, on peut recopier la progression multipliée par la raison $r$ en décalant d'un pas : $$\begin{array}{c|ccccccc}&1&r&r^2&\ldots&r^{n-1}&r^n&\\\hline{}\times r&&r&r^2&\ldots&r^{n-1}&r^n&r^{n+1}\end{array}$$ et faire la différence des deux lignes pour trouver que $1-r$ fois la somme des termes est $1-r^{n+1}$.

Bernard-maths · 04-02-2026 08:23:42

Bonjour à tous !

Et on peut faire ça en partant du terme p jusqu'au terme n ...

B-m

triop · 04-02-2026 09:20:05

Borassus a écrit :

Bonsoir ou bonjour (suivant l'heure à laquelle est lu ce message) à toutes et à tous !
Ça alors ! Borassus réapparaît après un long (trop long ? :-) silence !
Silence dont je vous prie de m'excuser : pris à fond par mon projet d'ouvrages numériques — notamment par la partie technique, véritablement sophistiquée, sur laquelle j'ai par exemple travaillé cet été entre 14 et 18 heures par jour — et mes cours, je n'ai plus vraiment l'occasion de lancer des débats sur mon fotum préféré.
Je reviens d'un cours avec un élève de Première à qui j'expliquais que la somme des termes consécutifs, du rang $p$ au rang $n$, d'une suite géométrique est égale au premier terme multiplié par la somme de toutes les puissances de $0$ à $n-p$ de la raison, cette somme se traduisant par la formule
$\dfrac{1 - q^{n - p +1}}{1 - q}$,
c'est-à-dire le quotient de 1 moins la raison élevée à la puissance égale au nombre de termes sur la différence 1 - q.
Mais cette formule relève d'un artifice de calcul :
$S'_n = 1 + q + q^2 + \ldots + q^{n - p}$
$qS'_n = q + q^2 + q^3 + \ldots + q^{n - p + 1}$
$S'_n - qS'_n = 1 - q^{n - p + 1}$
d'où $S'_n = \dfrac{1 - q^{n - p +1}}{1 - q}$

Quelle signification logique peut-on attribuer à cette expression ?
Que concrètement représente-t-elle, en dehors de l'expression "formuliste" de la somme des puissances de $0$ à $n-p$ de la raison ?
Merci de vos précieux, et toujours pertinents, points de vue !
Borassus le revenant

PS : La logique de la somme de termes consécutifs d'une suite artithmétique s'exprime facilement : c'est comme si tous ces termes étaient égaux à la moyenne du premier et du dernier termes.
D'où la somme de ces termes est égale au nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier termes :
$S_n = (n - p + 1) \times \dfrac{u_p + u_n}{2}$
Je ne sais pas exprimer aussi clairement la logique de la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.

Il y a une signification géométrique mystique ...
Les racines du polynôme 1+X+...+X^n sont les racines n+1èmes de l'unité, sauf 1.
ça veut dire qu'elles forment un polygone régulier, où il manque un point !

Bernard-maths · 04-02-2026 11:42:24

Hello !

Et pour (1-X)(1+X+X²+...+Xⁿ) ???

B-m

Borassus · 04-02-2026 12:30:45

Bonjour à toutes et à tous !

Oups, entre un codage sophistiqué en JavaScript qui occupe toute mon attention et le cours d'hier soir, j'ai laissé le temps filer !
Pardon !

@Michel
Merci pour " l'enthousiasme " ! Le mot est tout à fait celui qui convient. :-)
Je suis effectivement littéralement heureux lorsque je comprends une logique particulière et que je peux la transmettre à mes élèves (qui apprécient beaucoup ce bouillonnement passionné :-).

Bernard m'a devancé : plutôt que d'utiliser des astuces, il semble plus simple d'utiliser directement l'identité remarquable $(1 - b^{n+1}) = (1 - b) \left( 1 + b + b^2 + \ldots + b^{n-1} + b^n \right)$

La logique de la somme des termes $u_p$ à $u_n$ d'une suite géométrique est donc : premier terme $u_p$ , multiplié par la somme de toutes les puissances de $0$ à $n-p$ de la raison :
$u_p \left( q^0 + q^1 + q^2 + \ldots q^{n-p} \right)$

Comme cette écriture logique ne correspond pas à une formule qu'on peut apprendre et appliquer, on préfère utiliser l'identité $1 - q^{n-p+1} = (1 - q) \left( 1 + q^1 + q^2 + \ldots q^{n-p} \right)$ pour aboutir à l'expression

$u_p \times \dfrac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}$ si $0 < q < 1$

et $u_p \times \dfrac{q^{n-p+1} - 1}{q - 1}$ si $q > 1$
________________________________

@DrStone

Ta question est une question profondément de fond.
Il me faut donc un peu de réflexion et de temps pour y répondre.
________________________________

triop a écrit :

Il y a une signification géométrique mystique ...
Les racines du polynôme 1+X+...+X^n sont les racines n+1èmes de l'unité, sauf 1.
ça veut dire qu'elles forment un polygone régulier, où il manque un point !

Tu peux développer s'il te plaît ?
Comment notamment "raccorder" cette "signification mystique" à la somme de termes d'une suite géométrique ?

Bernard-maths · 05-02-2026 15:55:07

Bonjour à tous !

Borassus, triop a écrit des choses mystérieuses ...

Lorsque j'enseignais en TC, j'ai très peu abordé ces histoires.

Mais cela est intéressant à voir !

Nous allons voir les nombres complexes ... e^iα = cos(α) + i sin(α) est le complexe d'image A, située sur le cercle de centre O et rayon 1, de coordonnées (cos(α), sin(α)) en repère (O, i , j), telle que angle(OA, i) = α.

On a en particulier e^{i 0} = e⁰ = 1; e^{i π/2} = i ; e^{i π} = -1 ; e^{i 3π/2} = -i.

En TC on parlait des racines nièmes de l'unité. https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_de_l%27unit%C3%A9

Soit n un entier, considérons les complexes u1 = e^{i 2π/n}, et up = e^{i 2π p/n}, 0<= p < n.

On a up=u1^p. De même u1ⁿ = e^{i 2π} = 1 ; upⁿ = e^{i 2π p/n * n} = e^{i 2π p} = (e^{i 2π})^p = 1 !

Ainsi, tous ces nombres up, p de 0 à n-1, ont leur puissance nième égale à 1, ce sont les racines nièmes de l'unité !

Leurs images se répartissent régulièrement sur le cercle (trigo) et sont les sommets d'un polygone régulier ...

Pour ce qui est de la somme des termes consécutifs ... u0 + u1 + ... +un-1 = 0.

Pour ce qui est des suites géométriques ... on voit qu'on a une suite géométrique de 1 terme u0 = 1 et de raison r = u1.

Cette suite est périodique de période n ... les sommes de termes sont aussi (?) périodiques ... à approfondir !

Voilà, je viens de pondre cette réponse avec mes souvenirs et cogitations présentes.

Toute amélioration sera la bienvenue pour Borassus (et correction d'erreur éventuelle !)

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (05-02-2026 17:16:51)

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#1 28-01-2026 20:32:25

Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique

#2 29-01-2026 00:33:41

Re : Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique

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