Rectangle et droites

cailloux · 13-01-2026 17:13:56

Bonjour à tous,
Dans une discussion voisine (je pense qu'il inutile de rappeler ce à quoi je fais allusion), j'avais initié un sujet sur lequel je n'avais pas grand chose à dire au départ. J'ai bien vite compris que le problème initial et son annexe dépassaient largement mes compétences. Résultat : on se retrouve avec un sujet "ouvert" qui laisse tout le monde sur sa faim.
À cette occasion, l'ami Imod avait écrit :

... Il serait intéressant de regarder le cas où les intersections forment un rectangle ...

qui m'avait fait penser immédiatement à un autre sujet (qui n'a rien à voir et beaucoup plus simple). Connaissant une solution, je vous le propose ici pour tenter de me rattraper :

On se donne trois droites du plan $D,D_1,D_2$ ainsi qu'un point $A$ fixé sur $D$.
Construire le(s) rectangle(s) $ABCD$ tels que $B\in D_1,\;C\in D,\; D\in D_2$
Discuter.

Vous faites comme vous voulez mais il n'est pas vraiment indispensable de cacher nos interventions.
Amusez-vous, c'est le principal.

Bernard-maths · 16-01-2026 09:00:18

Bonjour à tous !

Voici une construction :

Je n'ai pas vérifié si ça marche à tous les coups, mais c'est un début, peut-être final ...

Par contre il y a une 2ème solution ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (16-01-2026 09:06:24)

cailloux · 16-01-2026 13:15:22

Bonjour Bernard-maths,
Je ne comprends pas ta construction. Pourrais-tu la détailler ?

Bernard-maths · 16-01-2026 17:26:59

Hello !

A est "fixé" sur la droite h, C doit s'y déplacer. I est le milieu de [AC], on trace le cercle c de centre I passant par A. Il recoupe la droite g en 2 points B et D.

1ère fig, on garde B et on trace son symétrique B' par rapport à I, on a un rectangle ABCB'.

En déplaçant C sur h on trouve une position où B' est sur la 3ème droite f, d'où solution ...?

2ème fig, pareil, mais avec D et D', etc ...?

Je n'ai pas fait les calculs, mais en prenant les équations des 3 droites, de A et du cercle, on va trouver les coordonnées de B4 et D4 ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (16-01-2026 17:28:52)

cailloux · 16-01-2026 23:28:50

Bonsoir,
Tu confirmes ce que je soupçonnais :

En déplaçant C sur h on trouve une position où B' est sur la 3ème droite f, d'où solution ...?

Donc via un logiciel de géométrie dynamique, ici GeoGebra, tu "tâtonnes" pour trouver une ou des solutions qui seront tout sauf exactes.
D'ordinaire, je rappelle ce que nos aïeux entendaient avec le verbe "construire". De peur de paraître un peu lourd, je ne l'ai pas fait ici. J'ai eu tort.
Les aïeux en question ne disposaient pas de logiciels de géométrie. Et pourtant, ils parvenaient, quand c'était possible, à des solutions.
Que veux dire "construire" dans ce forum dédié à la belle géométrie ?
Feuille de papier, crayon, règle et compas. Rien d'autre.
[Edit] Ah si : peut-être une gomme ;)

Dernière modification par cailloux (16-01-2026 23:37:52)

Bernard-maths · 17-01-2026 08:47:36

Aie ... euh ???

C'est vrai que construire est une technique "ancienne", mais qui pouvait se pratiquer par essais échecs jusqu'à approcher la solution, non ?

Alors on peut utiliser le calcul, nos proches aïeux connaissaient.

Donc moi, aïeul des temps modernes, succombe à ces calculs ...

Comme pour le carré sur 4 droites, je prends les droites avec équations réduites ... A(x0, y0) sur h est connu, C(xc, yc) se déplace, il y a une inconnue xc. I pareil depend de C. Le cercle c dépend de C, toujours une inconnue xc. Les 2 points d'intersection avec la droite g sont à discuter éventuellement ... donc 2 cas à voir.

Les symétriques no problem, toujours 1 variable xc ! Symétriques sur f ...

Encore un petit problème à une inconnue !

Désolé,

Bernard-maths

Imod · 19-01-2026 18:14:18

Bonjour à tous :)

J’ai commencé à regarder ce problème , on est amené en position générale à considérer l’intersection d’une droite avec une hyperbole . Donc 0 , 1 ou 2 solutions . Il n’est pas trop difficile de distinguer les trois cas à partir des asymptotes de l’hyperbole . Après construire les points d’intersections est certainement possible vu qu’on est dans le degré 2 mais c’est très loin de ce que je sais faire . J’ai donc abandonné mon hyperbole pour m’intéresser aux cas où deux ou trois des droites sont parallèles .

1°) $(D)//(D_1)//(D_2) .$

Il n’y a jamais de solution sauf si $(D)$ est équidistant de $(D1)$ et $(D2)$ et alors il y en a une infinité facile à décrire .

2°) Si $(D_1)//(D_2)$ et $(D)$ sécante avec $(D_1)$ et $(D_2) .$

Alors il n’y a jamais de solution sauf si $A$ est sur $(D_1)$ ou $(D_2)$ et alors la solution est unique .

3°) Si $(D)$ est parallèle à $(D_1)$ et coupe $(D_2)$ .

On note $D$ le point d’intersection de $(D_2)$ et $S_A(D_1)$ , $I$ le point de $(D)$ équidistant $A$ et $D$ , $B=S_I(D) , C=S_I(A)$ alors $ABCD$ est l’unique solution .

Imod

Bernard-maths · 19-01-2026 18:35:14

Bonsoir à tous !

Imod, je voudrais bien comprendre comment tu fais intervenir une hyperbole ... je ne vois pas du tout !

La gomme de cailloux m'a effacé le cerveau ...

Merci, et bonsoir,

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (19-01-2026 18:36:14)

Imod · 19-01-2026 18:51:11

Bonsoir Bernard

J'ai simplement repéré le plan avec un repère orthonormé de centre A et de premier axe $(D)$ .

Quand le point $M$ se balade sur $(D_1)$ , $M'$ décrit une hyperbole et doit rencontrer $(D_2)$ .

Imod

Bernard-maths · 19-01-2026 19:11:14

Ok ! Merci ...

Mais après, comment tracer l'hyperbole avec la règle et le compas, pour être sur d'avoir un tracé exact pour l'intersection avec D2 ???

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (19-01-2026 19:11:54)

Imod · 19-01-2026 19:27:22

Ca je ne sais pas faire mais je pourrais donner le nombre de solutions en fonction des configurations . J'attends surtout ce que Pierre peut nous dire à propos de ce problème annoncé comme simple , notamment à propos de la construction de la ou des solutions .
Imod

DSBmath · 19-01-2026 19:56:36

Bernard-maths a écrit :

Ok ! Merci ...
Mais après, comment tracer l'hyperbole avec la règle et le compas, pour être sur d'avoir un tracé exact pour l'intersection avec D2 ???
B-m

Bonjour
Le traçage d'une conique propre si on a cinq points de cette conique est donné par l'application du théorème de Pascal et si on a cinq tangentes par l'application du théorème dual (avec la méthode obtenue précédemment pour le traçage d'un point qui parcours la conique avec le théorème on considère ici qu'on sera dans un plan projectif où alors par exemple si on avait deux droites s'intersectant en un point alors là il faut considérer que dans l'application du théorème précédent ce seront deux points qui porte une droite (c'est dual quoi)
Je ne place pas de calculs (comme convenu avec Imod)

Voir théorème de Pascal ou hexagramme mystique sur wiki et pour le dual (le principe) plan projectif structure d'incidence)

Dernière modification par DSBmath (19-01-2026 20:02:51)

cailloux · 19-01-2026 23:50:44

Bonsoir à tous,

on est amené en position générale à considérer l’intersection d’une droite avec une hyperbole .

C'est précisément la solution élémentaire à laquelle je pensais. Il en existe très certainement d'autres.
On oublie provisoirement $D_2$ et on cherche le lieu du point $D$ quatrième sommet du rectangle $ABCD$ lorsque $B$ décrit $D_1$.
Au préalable, on élimine le cas où $D_1 // D$ facile à traiter avec 0,1 ou une infinité de solutions aisément constructibles.
On suppose maintenant $D_1$ et $D$ sécantes en un certain point $O$.
Bien sûr, des calculs (avant constructions) sont nécessaires et donc le choix d'un repère cartésien qui permet à un lycéen de les faire :
J'ai choisi le repère d'origine $O$ où la droite $D$ est l'axe des ordonnées et où $A(0,a)$
Voici tous calculs faits, la figure correspondante :

L'équation de la courbe $\mathcal{H}$ n'est là que pour constater qu'il s'agit bien d'une hyperbole sauf dans le cas où $m=0$ ($D_1\perp D$) où c'est une parabole à examiner à part.
Dans le cas hyperbole, l'important est de récupérer ses asymptotes en remarquant les points $H$ et $H'$ et leurs constructions.
Les calculs sont terminés. La suite consiste à construire (règle et compas) les intersections, quand elles existent, de $\mathcal{H}$ et $D_2$
C'est ce qui fera l'objet de prochains messages.

Dernière modification par cailloux (19-01-2026 23:54:49)

cailloux · 20-01-2026 01:54:53

Cette suite, qui peut sembler compliquée, n'était qu'une formalité pour des élèves de Mathélem d'une autre époque.
Je ne donne que les constructions brutes. Leurs justifications figurent par exemple en bonne place dans le Lebossé & Hémery.
Pour déterminer les intersections éventuelles d'une droite et d'une hyperbole, il est nécessaire de construire les éléments suivants (en rouge sur la figure) :
- Les foyers $F$ et $F'$ de l'hyperbole.
- Un de ses cercles directeurs (par exemple ici celui de centre $F'$).
Les droites $D$, $D_1$ et le point $A$ sont donnés.

On trace les asymptotes (en bleu) avec les points $H$ et $H'$ de la figure précédente puis les axes bissectrices.
Le cercle de centre $\Phi$ passant par $H$ et $H'$ recoupe l'axe focal en les foyers $F$ et $F'$.
On construit le cercle principal de centre $\Omega$ à l'aide d'une projection d'un foyer sur une asymptote (ici $K$).
Le cercle directeur de centre $F'$ est l'homologue du cercle principal dans l'homothétie de centre $F$ et de rapport $2$.
On est maintenant paré pour les constructions finales.

On se donne maintenant la droite $D_2$.
Une nouvelle figure où ne sont conservés que les éléments "utiles" :

$F_1$ est le symétrique de $F$ par rapport à $D_2$
Un cercle quelconque passant par $F$ et $F_1$ recoupe le cercle directeur en $U$ et $V$.
Les droites $(UV)$ et $(FF_1)$ se coupent en $I$.
$\varphi$ et $\varphi'$ sont les points de contact des tangentes menées de $I$ au cercle directeur.
Les droites $(F'\varphi)$ et $(F'\varphi')$ coupent $D_2$ en $D$ et $D'$ points d'intersections de $D_2$ avec l'hyperbole.
Dans le cas parabole ($D_1\perp D$), des constructions du même genre permettent d'aboutir.

Tout ceci, un peu insipide, pour répondre à la question de Bernard-maths :

Mais après, comment tracer l'hyperbole avec la règle et le compas, pour être sur d'avoir un tracé exact pour l'intersection avec D2 ???

On n'a jamais eu besoin du tracé de l'hyperbole pour obtenir ses intersections éventuelles avec $D_2$ !
Resterait une discussion relative aux nombre de solutions (0,1 ou 2) suivant la position de $D_2$ par rapport aux éléments de la figure.
Tout à fait faisable mais je crois vous avoir assez enquiquiné avec les constructions géométriques ... :)
[Edit] Correction de coquilles en particulier $D_2$ qui s'était transformé en $D_3$

Dernière modification par cailloux (20-01-2026 10:16:39)

Bernard-maths · 20-01-2026 07:56:57

Bonjour à tous !

Bravo, c'est superbe ! J'ai beaucoup oublié, j'ai pourtant fait math elem y'a 60 ans, j'étais second avec 16 de moyenne juste derrière un redoublant, mais il est vrai qu'on a très peu eu à pratiquer ces coniques ...

Bernard-maths

cailloux · 20-01-2026 10:09:02

Bonjour Bernard-maths,
Si on n'est pas convaincu et si on est (très) courageux, on peut refaire les constructions avec GeoGebra, construire l'hyperbole de foyers $F$ et $F'$ passant par $A$ et bien sûr les deux (ici) rectangles solutions :

Bernard-maths · 20-01-2026 10:36:58

Bonjour cailloux !

Je suis convaincu et c'est joli à voir.

Mais je suis plutôt orienté sur les équations (cartésiennes de préférence), c'est vu sur le cas du carré sur 4 droites, ici c'est pareil, je n'ai pas fait les calculs.

Ce qui est énervant avec les logiciels, c'est leurs "incompétences" à tracer des figures dont on donne pourtant des équations justes !!!

Il faut alors ruser avec des epsilons ... Par exemple je suis à chercher une équation 3D d'un triangle.

Il y a plusieurs façons de faire ... Je vais donc le proposer dans la série de géométrie meccano que j'ai commencée ...

à +, B-m

Imod · 20-01-2026 18:35:42

Bonsoir .

C'est bien ce que je pensais , trouver le nombre de solutions à partir des asymptotes , c'est dans mes cordes . Après la construction à la règle et au compas du ou des rectangles convenables , c'est très loin de mes connaissances et de mes intérêts . Je comprends qu'il y en aient qui aiment :)

Imod

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Rectangle et droites

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