Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Omhaf

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Divisiblilité d'un entier par 11

Bonjour à tous,
Je viens de découvrir une méthode qui vérifie la divisiblité des entiers par 11 avec un reste nul.
La méthode consiste en ceci:
soit un nombre abababa
additionnons tous les a entre eux et tous les b entre eux
|∑a|-|∑b|=0 ou 11
Exemple: 643467/11
les a sont  7 4 4
les b sont  6 3 6
somme des a =7+4+4=15
somme des b =6+3+6=15
a-b=0
oui 643467 est divisible par 11 dividende= 58497
reste nul
@+

Dernière modification par Omhaf (16-01-2026 19:57:30)

jelobreuil

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Re : Divisiblilité d'un entier par 11

Bonjour, Omhaf, bonjour à tous
Contre-exemple : 643587 x 11 = 7079457
7 +7 +4 +7 = 25 et 0 + 9 +5 = 14
Comme quoi il ne suffit pas d'exhiber un exemple, il faudrait aussi chercher pourquoi cet exemple marche, trouver cette explication et vérifier si, oui ou non, cette explication est valable dans tous les cas...
Bien cordialement, JLB

DeGeer

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Re : Divisiblilité d'un entier par 11

Bonjour
Le critère usuel pour la divisibilité par 11, c'est que la somme des chiffres de rang impair (en partant des unités) moins la somme des termes de rang pair (toujours en partant des unités) est un multiple de 11. Ainsi, dans l'exemple de jelobreuil, on a 25-14=11 qui est bien un multiple de 11, donc 643587 est bien un multiple de 11. D'une manière générale, un nombre entier est congru modulo 11 à la somme alternée de ses chiffres (en partant des unités), ce qui fournit la méthode de la preuve par 11 pour vérifier le résultat d'une multiplication.

jelobreuil

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Re : Divisiblilité d'un entier par 11

Bonjour à tous,
Merci, DeGeer, je ne connaissais pas du tout ce critère !
Bien cordialement, JLB

Omhaf

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Re : Divisiblilité d'un entier par 11

Bonjour,
Merci jelobreuil et DeGeer,
En fait j'avais bien mentionné que la soustraction des a et des b donne 0 ou 11 ce qui s'applique à ton exemple
Mais la vraie raison de mon poste est une demande à tous mes amis de ce forum d'essayer d'expliquer le phénomene après qu'on l'aie constaté et en des mots plus simples : pourquoi les a - b donnent toujours un nul ou un multiple de 11
Cordialement.

Dernière modification par Omhaf (18-01-2026 01:44:10)

DeGeer

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Re : Divisiblilité d'un entier par 11

Bonjour
Le mieux est d'utiliser les congruences. Soit $N$ un entier naturel non nul. $N$ s'écrit sous la forme $N=\sum_{k=0}^na_k10^k$ (c'est la décomposition en base 10, par exemple, $234=2\times100+3\times10+4\times1$). Ici, les $a_k$ sont les chiffres de $N$, $a_0$ étant le chiffre des unités.
Maintenant on regarde les congruences modulo $11$ en se rappelant que la relation de congruence est compatible avec les opérations : si $a \equiv a' (m)$ et $b \equiv b' (m)$ alors $a+b \equiv a'+b'(m)$ et $ab \equiv a'b' (m)$.
On a $10 \equiv -1 ~(11)$ donc $10^k \equiv (-1)^k ~(11)$.
Ainsi, $N=\sum_{k=0}^na_k10^k \equiv \sum_{k=0}^n a_k (-1)^k ~(11)$
Or, être divisible par $11$ revient à être congru à $0$ modulo $11$, cela prouve le critère de divisibilité par $11$.
On démontre de même le critère de divisibilité par $9$ en utilisant le fait que $10 \equiv 1(9)$.

jelobreuil

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Re : Divisiblilité d'un entier par 11

Bonjour à tous
Merci beaucoup, DeGeer ! Pour moi, tout cela devient clair !
Omhaf, je te prie de m'excuser, j'ai probablement lu ton message initial un peu trop vite...
Bien cordialement, JLB

Dernière modification par jelobreuil (18-01-2026 10:19:52)

Omhaf

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Re : Divisiblilité d'un entier par 11

Re à tous
La modestie est la vertu des grands
Merci jelobreuil ,
@+