La Géométrie c'est : Meccano, Lego, Origami, Architecture ...

Bernard-maths · 04-12-2025 19:04:03

Bonjour à tous !

Construire, prendre des "morceaux" et les assembler pour construire un objet, voilà le jeu que je vous propose ...

C'est ce que j'ai fait en (et aller en #10) : https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=17775

Avec "l'outil morceau" plan plié, et des fonctions disponibles, j'ai fabriqué l'octangle étoilé, puis une multitude de polyèdres convexes ou étoilés.

L'objet plan plié est facile à fabriquer, ensuite il faut le mettre à la bonne place ...

Quelles sont ces manipulations ? Voici une figure en 3D :

On y voit un vecteur $\overrightarrow{MN}$, translaté en $\overrightarrow{OA}$. A se projette en A' sur le plan (xOy), et en A1, A2 et A3 sur les axes. On peut alors définir 2 angles inc et ori, d'inclinaison et orientation : inc = ($\overrightarrow{OA'}, \overrightarrow{OA}$) et ori = ($\overrightarrow{OA1}, \overrightarrow{OA'}$).

ALORS que peut-on faire avec ce données ?

Soit la norme de $\overrightarrow{MN}$ ; MN² = (xm-xn)²+(ym-yn)²+(zm-zn)². YOSHI !!! Je n'arrive pas à écrire MN = Rac carrée de ()²+()²+()²

Traçons le vecteur $\overrightarrow{ON1}$ de coordonnées (MN, 0, 0).

Prenons l'image $\overrightarrow{ON'1}$ de $\overrightarrow{ON1}$ par rotation d'axe (y'y) et d'angle inc (vers le haut ici).
Puis l'image $\overrightarrow{ON''1}$ de $\overrightarrow{ON'1}$ par rotation d'axe (y'y) et d'angle ori.
Enfin la translation de vecteur $\overrightarrow{OM}$ amène $\overrightarrow{ON''1}$ sur $\overrightarrow{MN}$.

Voilà le principe, pour dessiner, et pour une équation ???

Ce sera pour plus tard, vous pouvez réfléchir ... quelles formules utiliser ??? (Les données sont M et N distincts).

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (07-12-2025 11:19:39)

Bernard-maths · 08-12-2025 17:11:39

Bonsoir à tous !

Désolé, j'ai supprimé la suite ! Y'a des trucs qui ne vont pas bien, et je vous ai en plus balancé un truc pas assez juste.

Je vais reprendre sous une autre forme, en commençant en 2D !

Bernard-maths

Bernard-maths · 08-12-2025 18:01:03

Bonsoir à tous !

Alors l'idée est simple, on va considérer un segment [AB] comme diamètre d'un cercle ... avec GeoGebra.

Si A(xa,ya) et B(xb yb), alors la droite (AB) a pour équation eq1d : (x - xa) (yb - ya) - (y - ya) (xb - xa) = 0 ; le cercle de diamètre [AB], eq1c : (x - (xa + xb) / 2)² + (y - (ya + yb) / 2)² - r1² = 0, avec r1 = sqrt((xb - xa)² + (yb - ya)²) / 2 = AB/2.

Ensuite il faut limiter le tracé à l'intérieur du cercle ... à droite on a tracé la fonction a1(x,y) = -sgn((x - (xa + xb) / 2)² + (y - (ya + yb) / 2)² - r1²).

On y voit un plan rouge, à la cote z = -1, surmonté d'un disque rouge, à la cote z = +1, et à la cote z = 0 sur le cercle noir.

En effet la fonction (x - (xa + xb) / 2)² + (y - (ya + yb) / 2)² - r1² vaut 0 sur le cercle, -1 à l'intérieur et +1 à l'extérieur ... a1(x, y) en est l'opposé.

On obtient l'équation du segment ]AB[ par eq1s : ((x - xa) (yb - ya) - (y - ya) (xb - xa)) sqrt(a1(x, y)) = 0.

Pour moi il n'est pas clair de savoir ce que ça donne pour A et B ... à approfondir ...?

Alors je préfère prendre en compte A et B pour avoir le segment [AB] fermé ! Donc je préfère modifier légèrement a1(x, y), qui devient : a1'(x, y) = sgn(0.5 - sgn((x - (xa + xb) / 2)² + (y - (ya + yb) / 2)² - r1²)), qui vaut 1 sur le disque fermé, et -1 en dehors.

On a alors a1''(x, y) = sqrt(a1'(x, y)), qui vaut 1 sur le disque fermé, et est non défini(e) ailleurs ... c'est une fonction indicatrice "stricte", qui vaut 1 sur la zone disque fermé, et qui n'est pas définie ailleurs, alors qu'habituellement elle vaudrait 0 ... voir :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_ … ensembles)

Cette équation a le mérite de fonctionner quelles que soient les positions relatives de A et de B !

Voilà pour ce soir,

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (10-12-2025 08:42:26)

Bernard-maths · 10-12-2025 10:52:50

Bonjour à tous !

J'ai rajouté quelques commentaire au post #3 précédent ... Pour la suite, par duplication circulaire sur les lettres, après ajout de C et D, on peut avoir les segments [BC] et [CD] :

Vu à plat et en 3D ... Voici les équations :

r1 = sqrt((xb - xa)² + (yb - ya)²) / 2 ; a1' = sgn(0.5 - sgn((x - (xa + xb) / 2)² + (y - (ya + yb) / 2)² - r1²)) ; eq1s : ((x - xa) (yb - ya) - (y - ya) (xb - xa)) sqrt(a1'(x, y)) = 0

r2 = sqrt((xc - xb)² + (yc - yb)²) / 2 ; a2' = sgn(0.5 - sgn((x - (xb + xc) / 2)² + (y - (yb + yc) / 2)² - r2²)) ; eq2s : ((x - xb) (yc - yb) - (y - yb) (xc - xb)) sqrt(a2'(x, y)) = 0

r3 = sqrt((xd - xc)² + (yd - yc)²) / 2 ; a3' = sgn(0.5 - sgn((x - (xc + xd) / 2)² + (y - (yc + yd) / 2)² - r3²)) ; eq3s : ((x - xc) (yd - yc) - (y - yc) (xd - xc)) sqrt(a3'(x, y)) = 0

Bien sur on peut regrouper ... etc ...

eq1s : ((x - xa) (yb - ya) - (y - ya) (xb - xa)) sqrt(sgn(0.5 - sgn((x - (xa + xb) / 2)² + (y - (ya + yb) / 2)² - (sqrt((xb - xa)² + (yb - ya)²) / 2)²))) = 0

Avec GeoGebra les équations restent séparées, pas moyen de faire une seule équation produit, il ne comprend pas !

Je vais essayer avec Maple ... avec cette formule, Maple ne fonctionne pas sur le signe du disque !!! BOF ??? Faut trouver une autre formule ...

PAR CONTRE, SI VOUS POUVEZ ESSAYER SUR VOTRE LOGICIEL, MERCI DE ME DIRE CE QUE CA DONNE !!!

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (13-12-2025 10:42:29)

Bernard-maths · 15-12-2025 07:40:38

Bonjour à Yoshi, et à tous !

J'essaye de charger un fichier GeoGebra !!!

https://uploadnow.io/f/Q2XCbDt

Ca a l'air de fonctionner !!!

AVEC ; https://uploadnow.io/fr?utm_source=catupload

Yoshi, qu'en penses-tu ???

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (15-12-2025 07:45:59)

yoshi · 15-12-2025 10:25:27

RE,

Moi, j'en pense que tant avec tes liens qu' avec celui de Recassol,
La page sur laquelle je tombe se nomme Upload, Dossier partagé : je m'attendais à Download...
Sinon, je suis comme une poule qui trouve un couteau : je ne sais qu'en faire !

Mode d'emploi inexistant ou crise de sénilité précoce (79 ans en mars, faut que je commence à me surveiller, s'pas)...

Bah, c'est pô grave, j'ai beaucoup d'autres choses à faire... Continuez à jouer sans moi !

@+

Bernard-maths · 31-12-2025 17:08:27

Bonjour à tous !

Le meccano continue : face par face.

Chacune des 4 faces est en même couleur dans le programme Mapple au dessus.

La face jaune, par ex, se trace avec les 4 produits jaunes : le 1er est l'équation du plan contenant la face jaune, les 3 autres sont des fonctions indicatrices liées aux 3 autres plans, valant 1 dans l'espace du demi plan de chaque côté tourné vers l'intérieur du tétraèdre, et non définies ailleurs (autre demi plan).

Plus de détail pour les quémandeurs ... (;-)

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (31-12-2025 17:22:53)

Bernard-maths · 03-01-2026 21:04:17

Bonsoir à tous !

N'oubliez pas : bonne année pour bibmath !!! Et meilleurs vioeux à tous ...

Quémandeur = qui est demandeur ... Y'en a pas eu ... bande de fêtards (;-)

Regardons ces équations. Il s'agit d'un tétraèdre à centre de symétrie O(0,0,0), non régulier. [AB] est le segment rouge et jaune, A devant sur fig gauche, et B derrière à droite. [CD] le segment vertical, C en bas D en haut. Les équations des 4 plans sont ; (x-2z-a=0) et (x+2z-a=0) en rouge et jaune, (-x-2y-a=0) et (-x+2y-a=0) en vert et bleu.

Dans ces équations les membres de gauche sont négatifs du côté du point O (car le terme constant est -a<0). En utilisant la fonction max (....)=0, on aurait le tétraèdre, en une couleur.

Prenons pour exemple la face jaune bien visible. f(x,y,z) = -x-2z+a est = 0 sur le plan de la face, <0 vers l'extérieur du tétraèdre, et >0 vers le point O à l'intérieur.

Si on prend la racine carrée de f, on obtient une fonction g=0 sur le plan, non définie vers l'extérieur du tétraèdre, et >0 vers le point O.

Si on lui ajoute 0.5, alors g >0 vers O ET sur le plan. En en prenant le signe, on obtient alors 1 où g+0.5 est positive, et non défini ailleurs !

On a une fonction indicatrice du demi espace fermé, de frontière le plan (ABD), et tourné vers O.

On fait de même pour les 3 autres plans, alors on a 4 fonctions indicatrices, de demi espaces, si on en fait le produit on obtient finalement une fonction indicatrice valant 1 dans le tétraèdre fermé (faces comprise), et non définie en dehors du tétraèdre !

Suite demain, vais lala au dodo, sisi, mimi ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (03-01-2026 21:08:50)

Zebulor · 04-01-2026 18:51:13

Hello Bernard,

et meilleurs voeux (vioeux ? :-) !

Bernard-maths a écrit :

Soit la norme de $\overrightarrow{MN}$ ; MN² = (xm-xn)²+(ym-yn)²+(zm-zn)². YOSHI !!! Je n'arrive pas à écrire MN = Rac carrée de ()²+()²+()²

MN =\sqrt {(x_m-x_n)^2+(y_m-y_n)^2+(z_m-z_n)^2}
ce qui donne en encadrant la formule par un dollar (de chaque côté)
$MN=\sqrt {(x_m-x_n)^2+(y_m-y_n)^2+(z_m-z_n)^2}$

Dernière modification par Zebulor (04-01-2026 18:53:23)

Bernard-maths · 04-01-2026 20:00:24

Bonsoir à tous !

La suite avec un exemple d'objet (une sphère de centre O) qui coupe la zone tétraédrique : elle est découpée et il ne reste que ce qui est intérieur au tétraèdre :

On voit bien les découpes en biais selon les faces du tétraèdre.

On peut rajouter les 4 sommets, sous forme de petites sphères !

l'équation dessous est rajouter à la fin, avant le ] terminal.

Voilà, il ne reste plus que les 6 arêtes !!!

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (04-01-2026 20:14:40)

Bernard-maths · 12-01-2026 19:07:32

Bonsoir à tous !

Passons aux arêtes ...

Une arête est un segment de droite, dans le plan ou l'espace. Etant donnés 2 points A(xa, ya, za) et B(xb, yb, zb), un point M sera sur la droite (AB) à condition que les coordonnées des vecteurs AM et AB soient proportionnelles. Ce qui conduit au système d'équations cartésiennes : (x-xa)/(xb-xa) = (y-ya)/(yb-ya) = (z-za)/(zb-za),
qu'on peut aussi écrire comme système : (1) (x-xa)/(xb-xa) - (z-za)/(zb-za) =0 et (2) (y-ya)/(yb-ya) - (z-za)/(zb-za) =0.

Les 2 équations sont des équations de plans, et la droite (AB) en est l'intersection.

Pour traduire en une équation que ces 2 équations sont vraies, on peut écrire que la somme des carrés des membres gauches est égale à 0 !

[(x-xa)/(xb-xa) - (z-za)/(zb-za)]² + [(y-ya)/(yb-ya) - ((z-za)/(zb-za)]² = 0. Ce qui donne une équation cartésienne de la droite (AB) !

A gauche on voit en gras la formule proposée, et la droite tracée (entre -10 et +10 en z). A droite la même droite limitée entre -5 et +8 par la fonction indicatrice rouge en z, pour le segment [AB].

Remarque : les formules sont justes avec =0, Mais Maple ne trace rien, il faut lui mettre un petit epsilon = 0.001 ici !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (13-01-2026 08:39:06)

Bernard-maths · 13-01-2026 09:08:23

Bonjour à tous !

Suite avec le tétraèdre ABCD, avec A(a,-a,0), B(a,a,0), C(-a,0,-a) et D(-a,0,a) et a=8 par ex.

Les arêtes [AB] et [CD] sont horizontale //(y'y) et verticale //(z'z), les 4 autres obliques, avec z entre -a et +a.

Commençons avec les obliques, cas général vu ci dessus ... et 1ère équation ci dessous :

Ensuite les 4 arêtes obliques, et enfin les 6.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (13-01-2026 17:51:01)

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