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Abel413

Invité

Evenements réalisés à coup sûr

Bonjour,

Je me remets un peu aux mathématiques et je me pose ce type de problème : je considère l'événement d'avoir obtenu pile ou face avec une piéce de monnaie. Je souhaite savoir, si on suppose qu'on peut faire une infinité de tentatives, si tout événement peut etre obtenu au moins une fois à coup sûr ?

Ex : "obtenir au moins une fois pile"

Ex 2 : "obtenir la sequence deux fois pile, deux fois  face puis pile et face en 5 lancés successifs"

Le premier ex est facile a obtenir. Le deuxième est plus compliqué : si on tente l'experience en plusieurs tentatives (en nombre fini) de 5 lancés, il semble peu probable d'obtenir cette séquence.

De façon génerale, je m'interroge si toute séquence, aussi grande que l'on veut, peut etre obtenue a coup sûr si on fait une infinité de tentatives.

En vous remerciant

DeGeer

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Re : Evenements réalisés à coup sûr

Bonjour
La probabilité d'obtenir une certaine séquence est strictement positive. Donc si tu réitères la tentative un nombre arbitraire de fois, la probabilité d'obtenir la séquence au moins une fois tend vers 1. La probabilité d'obtenir la séquence voulue à un moment est 1. On dit que l'événement "obtenir la séquence au bout d'un certain nombre d'itérations" est presque sûr.

Zebulor

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Re : Evenements réalisés à coup sûr

Bonjour;
je ne comprends pas ce que signifie  "puis pile et face" ... dans l Ex2

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

jelobreuil

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Re : Evenements réalisés à coup sûr

Bonjour à tous !
Zebulor, je pense que dans l'exemple 2, c'est "6" qu'il faut lire, au lieu de "5", n'est-ce pas, Abel413 ? 
Bien cordialement, JLB

Abel413

Invité

Re : Evenements réalisés à coup sûr

Bonjour
La probabilité d'obtenir une certaine séquence est strictement positive. Donc si tu réitères la tentative un nombre arbitraire de fois, la probabilité d'obtenir la séquence au moins une fois tend vers 1. La probabilité d'obtenir la séquence voulue à un moment est 1. On dit que l'événement "obtenir la séquence au bout d'un certain nombre d'itérations" est presque sûr.

Merci du retour. Est ce qu'il existe une demonstration de ce resultat ?

Abel413

Invité

Re : Evenements réalisés à coup sûr

Bonjour à tous !
Zebulor, je pense que dans l'exemple 2, c'est "6" qu'il faut lire, au lieu de "5", n'est-ce pas, Abel413 ? 
Bien cordialement, JLB

Effectivement il y a une faute de frappe. Je voulais dire 6 lancés avec la sequence proposée. Donc deux fois pile, deux fois face puis pile et face. Mais finalement peu importe : je voudrais savoir si on peut demontrer que n'importe quelle sequence peut etre obtenue a coup sûr si on la joue une infinite de fois.

verdurin

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Re : Evenements réalisés à coup sûr

Bonne année,
il faut distinguer sûr et presque sûr.
Il y a une infinité de tirages dans lesquels ne figure jamais  la séquence « deux fois pile, deux fois  face puis pile et face ».
On est « presque sûr » d’obtenir cette  séquence avec une infinité de tirages mais on est pas sûr de l’obtenir.

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Ni centidieux, ni centimaitres.

bridgslam

Membre Expert

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Re : Evenements réalisés à coup sûr

Bonsoir,

Etant en pratique impossible de tenter l'expérience une infinité de fois, on n'a pas d'autre choix que de vérifier que l'éventualité  contraire devient si dérisoire à partir d'un nombre gigantesque de lancers donné, qu'on est presque sûr de sa réalisation.
L'air dans une pièce ne s'est jamais vu occuper juste une moitié de l'espace disponible, au fil du mouvement des molécules, pourtant ce n'est pas impossible.
Mais la probabilité de cette situation est tellement faible, que l'envisager est utopique...

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

DeGeer

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Re : Evenements réalisés à coup sûr

Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p \in ]0,1[$. On considère les événements $E_n=\bigcap_{i=1}^n \{X_i=0\}$. $(E_n)$ est une suite décroissante d'événements et $\mathbb{P}(E_n)=p^n$ par indépendance des $X_i$. On a donc $\mathbb{P}(\bigcap E_n)=lim\mathbb{P}(E_n)=0$ et donc la probabilité de l'événement contraire (au moins un des $X_n$ prend la valeur $1$) est $1$.