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#1 04-01-2026 19:52:44
- germain32
- Membre
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- Messages : 19
Démonstration Cantor-Bernstein
Bonjour,
Je souhaite savoir si ma version de la démonstration du théorème de Cantor-Bernstein
est valable:
Soient A et B deux ensembles, et supposons qu’il existe des injections f : A → B et g : B → A. Alors il existe une bijection h : B → A.
Démonstration: (la mienne)
f injective -> Card(B) >=Card(A)
g injective -> Card(A) >= Card(B)
->Card(A)=Card(B)
Donc f et g bijectives...
J'ai peur que ça ne soit valable que pour des ensembles finis
Merci beaucoup
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#2 04-01-2026 20:41:11
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 452
Re : Démonstration Cantor-Bernstein
Bonsoir,
C'est surtout que votre argument tourne en rond : le théorème de Cantor-Bernstein sert justement à justifier les manipulations d'inégalités de cardinaux que vous utilisez !
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#4 04-01-2026 20:55:28
- Michel Coste
- Membre Expert
- Inscription : 05-10-2018
- Messages : 1 452
Re : Démonstration Cantor-Bernstein
Parce que tu utilises dans ton argument le résultat qu'il faut démontrer.
Mais en fait, en relisant, c'est plus grave que ça. Tu raisonnes comme si une application injective entre deux ensembles de même cardinal était forcément bijective. Et ça, ça ne marche effectivement que pour des ensembles finis.
Par exemple prends l'application $n\mapsto 2n$ de $\mathbb N$ dans lui-même : elle est injective, pas surjective.
Dernière modification par Michel Coste (04-01-2026 21:00:58)
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#6 05-01-2026 14:29:13
- bib99
- Invité
Re : Démonstration Cantor-Bernstein
Bonjour,
Tu trouveras ton bonheur ici, https://www.ceremade.dauphine.fr/~vioss … nstein.pdf
#8 05-01-2026 16:37:11
- DeGeer
- Membre
- Inscription : 28-09-2023
- Messages : 217
Re : Démonstration Cantor-Bernstein
Bonjour
Au vu de tes deux derniers messages, tu confonds dimension finie et cardinal fini. Par exemple, $\mathbb{R}^2$ muni de sa structure euclidienne canonique est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension 2 mais n'est certainement pas un ensemble fini.
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