sur triangle isocèle

DSBmath · 30-12-2025 04:24:31

Bonjour
En travaillant sur un truc de géométrie projective, je suis tombé sur ce résultat que je trouve sympathique

Énoncé accompagné d'une figure

Étant donné un triangle I-isocèle IAA'
M le milieu du segment [AA']
B le projeté orthogonal de A' sur la droite (IA)
B' le projeté orthogonal de A sur la droite (IA')
(d) la parallèle, issue de I, de la droite (AA')
(m) la bissectrice intérieure, en I, du triangle rectangle IMA
(m') la bissectrice intérieure, en I, du triangle rectangle IMA'
C l'intersection des droites (m) et (BA')
C' l'intersection des droites (m') et (BA')
D l'intersection des droites (m) et (AB')
D' l'intersection des droites (m') et (AB')
E l'intersection des droites (d) et (AB')
E' l'intersection des droites (d) et (A'B)

Alors:
Les droites (d),(AC),(B'C') sont concourantes et notons J le point de concourt de ces droites
Les droites (d),(AC'),(B'C) sont concourantes et notons K le point de concourt de ces droites
Les droites (d),(A'D),(BD') sont concourantes et notons J' le point de concourt de ces droites
Les droites (d),(A'D'),(BD) sont concourantes et notons K' le point de concourt de ces droites
E et E' divisent harmoniquement le segment [JK]
E et E' divisent harmoniquement le segment [J'K']

surtriangleisocele

Rescassol · 30-12-2025 13:36:35

Bonjour,

Voilà une solution en calcul barycentrique. Géogébra est d'accord avec toutes les valeurs et les résultats.
Je peux donner des précisions à la demande.
Il est curieux de constater que la valeur de la distance $IM=t$ (égale à $\sqrt{IM2}$) n'intervient jamais.

% DSBmath  (BibM@th.net) - 30 Décembre 2025 - sur triangle isocèle

clc, clear all

syms a b real % Les longueurs des côtés du triangle IAA' sont IA=IA'=b et AA'=a

% Notations de Conway

Sa=b^2-a^2/2; Sb=a^2/2; Sc=a^2/2;

I=[1; 0; 0]; A=[0; 1; 0]; Ap=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle IAA'

AAp=[1, 0, 0]; IAp=[0, 1, 0]; IA=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle IAA'

M=[0; 1; 1]; % Milieu de [AA']

%-----------------------------------------------------------------------

B=[Sb; Sa; 0]; % Projeté orthogonal de A' sur (IA): B=[a^2; 2*b^2-a^2; 0

Bp=[Sc; 0; Sa]; % Projeté orthogonal de A sur (IA'): Bp=[a^2; 0; 2*b^2-a^2]

d=[0, 1, 1]; % Parallèle à la droite (AA') passant par I

IM2=b^2-a^2/4; % Pythagore: IM2=IM^2

syms t real % t=sqrt(IM2) (C'est la distance IM)

m=Wedge(I,Barycentre([A M],[t b])); % I-bissectrice de IAM

% On trouve m=[0, -b, b+2*t]. De même:

mp=[0, -(b+2*t), b];

BAp=Wedge(B,Ap); ABp=Wedge(A,Bp);

C=SimplifieBary(Wedge(m,BAp)); 

Cp=SimplifieBary(Wedge(mp,BAp)); 

D=SimplifieBary(Wedge(m,ABp)); 

Dp=SimplifieBary(Wedge(mp,ABp)); 

% On trouve:

% C=[a^2*(b+2*t); -(a^2-2*b^2)*(b+2*t); -b*(a^2-2*b^2)]

% Cp=[a^2*b; -b*(a^2-2*b^2); -(a^2-2*b^2)*(b+2*t)]

% D=[a^2*b; -(a^2-2*b^2)*(b+2*t); -b*(a^2-2*b^2)]

% Dp=[a^2*(b+2*t); -b*(a^2-2*b^2); -(a^2-2*b^2)*(b+2*t)]

E=SimplifieBary(Wedge(d,ABp)); % E=[-a^2, 2*b^2-a^2, a^2-2*b^2]

Ep=SimplifieBary(Wedge(d,BAp)); % Ep=[a^2, 2*b^2-a^2, a^2-2*b^2]

%-----------------------------------------------------------------------

% Les droites d, (AC), (B'C') sont concourantes en J

AC=Wedge(A,C); % AC=[-b*(a^2-2*b^2), 0, -a^2*(b+2*t)]

BpCp=SimplifieBary(Wedge(Bp,Cp)); % BpCp=[-b*(a^2-2*b^2), 2*a^2*t, -a^2*b]

Nul1=Factor(det([d; AC; BpCp])) 

% On trouve Nul1=0, donc c'est gagné

J=SimplifieBary(Wedge(d,AC)); % J=[-a^2*(b+2*t); -b*(a^2-2*b^2); b*(a^2-2*b^2)]

%-----------------------------------------------------------------------

% Les droites d, (AC'), (B'C) sont concourantes en K

ACp=Wedge(A,Cp); % ACp=[-(a^2-2*b^2)*(b+2*t), 0, -a^2*b]

BpC=SimplifieBary(Wedge(Bp,C)); % BpC=[-(a^2-2*b^2)*(b+2*t), -2*a^2*t, -a^2*(b+2*t)]

Nul2=Factor(det([d; ACp; BpC])) 

% On trouve Nul2=0, donc c'est gagné

K=SimplifieBary(Wedge(d,ACp)); % K=[-a^2*b; -(a^2-2*b^2)*(b+2*t); (a^2-2*b^2)*(b+2*t)]

%-----------------------------------------------------------------------

% Les droites d, (A'D), (BD') sont concourantes en J'

ApD=Wedge(Ap,D); % ApD=[(a^2-2*b^2)*(b+2*t), a^2*b, 0]

BDp=SimplifieBary(Wedge(B,Dp)); % BDp=[(a^2-2*b^2)*(b+2*t), a^2*(b+2*t), 2*a^2*t]

Nul3=Factor(det([d; ApD; BDp])) 

% On trouve Nul3=0, donc c'est gagné

Jp=SimplifieBary(Wedge(d,ApD)); % Jp=[-a^2*b; (a^2-2*b^2)*(b+2*t); -(a^2-2*b^2)*(b+2*t)]

%-----------------------------------------------------------------------

% Les droites d, (A'D'), (BD) sont concourantes en K'

ApDp=Wedge(Ap,Dp); % ApDp=[b*(a^2-2*b^2), a^2*(b+2*t), 0]

BD=SimplifieBary(Wedge(B,D)); % BD=[b*(a^2-2*b^2), a^2*b, -2*a^2*t]

Nul4=Factor(det([d; ApDp; BD])) 

% On trouve Nul4=0, donc c'est gagné

Kp=SimplifieBary(Wedge(d,ApDp)); % Kp=[-a^2*(b+2*t); b*(a^2-2*b^2); -b*(a^2-2*b^2)]

%-----------------------------------------------------------------------

% E et E' divisent harmoniquement le segment [JK]

j=Vecteur(I,J); k=Vecteur(I,K); e=Vecteur(I,E); ep=Vecteur(I,Ep);

Nul5=Factor(Birapport(j(2),k(2),e(2),ep(2))+1)

% On trouve Nul5=0, donc c'est gagné

%-----------------------------------------------------------------------

% E et E' divisent harmoniquement le segment [J'K']

jp=Vecteur(I,Jp); kp=Vecteur(I,Kp);

Nul6=Factor(Birapport(jp(2),kp(2),e(2),ep(2))+1)

% On trouve Nul6=0, donc c'est gagné

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (30-12-2025 13:39:44)

jelobreuil · 30-12-2025 14:02:42

Bonjour, DSBmaths, Rescassol, bonjour à tous,
Puisque c'est de la géométrie projective, n'y aurait-il pas du Desargues là-dessous ?
Bien cordialement, JLB

DSBmath · 30-12-2025 18:17:15

Bonjour Jelobreuil et Rescassol et bonjour à tous

En fait Jelobreuil je n'ai pas réfléchi à cette question car je n'avais juste besoin que de faire apparaitre deux quadrilatères complets qui me semblaient "remarquables" à partir d'un triangle isocèle et je suis tombé sur ce petit résultat de droites convergentes.
Au passage bonne année à tous.
Je dois faire quelque chose qui n'est pas en rapport avec cela car je me suis aperçu que j'ai trouvé autre chose que ce petit résultat pour réaliser le bidule que je cherche à faire.

Ci-dessous on voit apparaitre un faisceau de huit droites issues de E et idem issues de E' avec d'autres convergences de droites

isoc3

Bien cordialement
Dominique

DSBmath · 30-12-2025 19:44:27

... et je te remercie Rescassol pour ces calculs barycentriques

En posant :

F l'intersection des droites (AC) et (A'D')
G l'intersection des droites (A'D) et (AC')
H l'intersection des droites (BD') et (CB')

L l'intersection des droites (A'D) et (B'C)
L' l'intersection des droites (AC') et (BD')
L' est le symétrique de L d'axe (IM)

N l'intersection des droites (AC) et (BD)
N' l'intersection des droites (A'D') et (B'C')
N' est le symétrique de N d'axe (IM)

P l'intersection des droites (AC) et (BD')
P' l'intersection des droites (A'D') et (B'C)
P' est le symétrique de P d'axe (IM)

Q l'intersection des droites (BD) et (B'C)
Q' l'intersection des droites (BD') et (B'C')
Q' est le symétrique de Q d'axe (IM)

R l'intersection des droites (AC) et (A'D)
R' l'intersection des droites (AC') et (A'D')
R' est le symétrique de R d'axe (IM)

S l'intersection des droites (AC') et (BD)
S' l'intersection des droites (A'D) et (B'C')
S' est le symétrique de S d'axe (IM)

Alors :

Les huit droites (FL),(PQ),(NH),(P'R),(DD'),(SQ'),(N'G),(R'S') convergent sur E
Les huit droites (FL'),(P'Q'),(N'H),(PR'),(CC'),(S'Q),(NG),(RS) convergent sur E'

Bien cordialement,
Dominique

DSBmath · 30-12-2025 22:01:12

... de plus C,C',D,D',H,G et C,C',D,D',N,N' sont chacun coconiques

Dans la figure ci-dessous :

Les six points C,C',D,D',H,G sont ceux de la conique de couleur verte

Les six points C,C',D,D',N,N' sont ceux de la conique de couleur orange

isoc4

Bon après je ne remarque rien d'autre et au final tout cela pour un simple triangle isocèle.

Bien cordialement,
Dominique

Rescassol · 30-12-2025 22:13:19

Bonsoir,

On rajoute ceci à la suite de mon code précédent:

IM=[0, 1, -1];

L=SimplifieBary(Wedge(ApD,BpC)); % L=[a^2*b, -(a^2-2*b^2)*(b+2*t), -(a^2-2*b^2)*(b-2*t)] 

Lp=SimplifieBary(Wedge(ACp,BDp)); % Lp=[-a^2*b, (a^2-2*b^2)*(b-2*t), (a^2-2*b^2)*(b+2*t)] 

Ls=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(L,IM,a,b,b));

Un7=Ls./Lp % On trouve Un7=[1; 1; 1] donc Ls=Lp

%-----------------------------------------------------------------------

N=SimplifieBary(Wedge(AC,BD));

Np=SimplifieBary(Wedge(ApDp,BpCp));

Ns=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(N,IM,a,b,b));

Un8=Ns./Np % On trouve Un8=[1; 1; 1] donc Ns=Np

%-----------------------------------------------------------------------

P=SimplifieBary(Wedge(AC,BDp));

Pp=SimplifieBary(Wedge(ApDp,BpC));

Ps=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(P,IM,a,b,b));

Un9=Ps./Pp % On trouve Un9=[-1; -1; -1] donc Ps=Pp

%-----------------------------------------------------------------------

Q=SimplifieBary(Wedge(BD,BpC));

Qp=SimplifieBary(Wedge(BDp,BpCp));

Qs=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(Q,IM,a,b,b));

Un10=Ps./Pp % On trouve Un10=[-1; -1; -1] donc Qs=Qp

%-----------------------------------------------------------------------

R=SimplifieBary(Wedge(AC,ApD));

Rp=SimplifieBary(Wedge(ACp,ApDp));

Rs=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(R,IM,a,b,b));

Un11=Rs./Rp % On trouve Un11=[-1; -1; -1] donc Rs=Rp

%-----------------------------------------------------------------------

S=SimplifieBary(Wedge(ACp,BD));

Sp=SimplifieBary(Wedge(ApD,BpCp));

Ss=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(S,IM,a,b,b));

Un12=Ss./Sp % On trouve Un12=[1; 1; 1] donc Ss=Sp

%-----------------------------------------------------------------------

F=Wedge(AC,ApDp); G=Wedge(ApD,ACp); H=Wedge(BDp,BpC);

FL=Wedge(F,L); PQ=Wedge(P,Q); HN=Wedge(H,N); PpR=Wedge(Pp,R); 

DDp=Wedge(D,Dp); SQp=Wedge(S,Qp); GNp=Wedge(G,Np); RpSp=Wedge(Rp,Sp); 

NulFL=Factor(FL*E)

NulPQ=Factor(PQ*E)

NulHN=Factor(HN*E)

NulPpR=Factor(PpR*E)

NulDDp=Factor(DDp*E)

NulSQp=Factor(SQp*E)

NulGNp=Factor(GNp*E)

NulRpSp=Factor(RpSp*E)

% On trouve NulFL=NulPQ=NulHN=NulPpR=NulDDp=NulSQp=NulGNp=NulRpSp=0, donc

% les 8 droites (FL),(PQ),(NH),(P'R),(DD'),(SQ'),(N'G),(R'S') passent par E

%-----------------------------------------------------------------------

FLp=Wedge(F,Lp); PpQp=Wedge(Pp,Qp); HNp=Wedge(H,Np); PRp=Wedge(P,Rp); 

CCp=Wedge(C,Cp); QSp=Wedge(Q,Sp); GN=Wedge(G,N); RS=Wedge(R,S); 

NulFLp=Factor(FLp*Ep)

NulPpQp=Factor(PpQp*Ep)

NulHNp=Factor(HNp*Ep)

NulPRp=Factor(PRp*Ep)

NulCCp=Factor(CCp*Ep)

NulQSp=Factor(QSp*Ep)

NulGN=Factor(GN*Ep)

NulRS=Factor(RS*Ep)

% On trouve NulFLp=NulPpQp=NulHNp=NulPRp=NulCCp=NulQSp=NulGN=NulRS=0 donc

% les 8 droites (FL'),(P'Q'),(N'H),(PR'),(CC'),(S'Q),(NG),(RS) passent par E'

%-----------------------------------------------------------------------

NulConic1=Factor(CoconiquesBary(C,Cp,D,Dp,H,G))

NulConic2=Factor(CoconiquesBary(C,Cp,D,Dp,N,Np))

% On trouve NulConic1=NulConic2=0 donc c'est gagné

% Coefficients de l'équation de la conique Co1 sous la forme

% a x^2 + b y^2 + c z^2 + d x*y + e y*z + f z*x = 0

Co1=SimplifieBaryT(Conique5PointsBary(C,Cp,D,Dp,H));

% On trouve Co1 = 

% (a^2-2*b^2)^2*(b+2*t)^2

% a^4*b*(b+2*t)

% a^4*b*(b+2*t)

% a^2*(a^2-2*b^2)*(b+2*t)^2

% -a^4*b^2

% a^2*(a^2-2*b^2)*(b+2*t)^2

% Coefficients de l'équation de la conique Co2 sous la forme

% a x^2 + b y^2 + c z^2 + d x*y + e y*z + f z*x = 0

Co2=Conique5PointsBary(C,Cp,D,Dp,N);

% On trouve Co2 = 

% b*(a^2-2*b^2)^2*(3*b+4*t)

% a^4*b*(b+2*t)

% a^4*b*(b+2*t)

% a^2*b*(a^2-2*b^2)*(3*b+4*t)

% a^4*(b-2*t)*(b+2*t)

% a^2*b*(a^2-2*b^2)*(3*b+4*t)

% Centre de Co1:

Ce1=CentreConiqueBary(Co1(1),Co1(2),Co1(3),Co1(4)/2,Co1(5)/2,Co1(6)/2);

% On trouve Ce1 = 

% [a^2*(8*(2*b^2-a^2)*t^2 - 4*b*(a^2-4*b^2)*t - b^2*(a^2-4*b^2));

%  (a^2-2*b^2)*(a^2-4*b^2)*(b+2*t)^2;

%  (a^2-2*b^2)*(a^2-4*b^2)*(b+2*t)^2]

% Centre de Co2:

Ce2=CentreConiqueBary(Co2(1),Co2(2),Co2(3),Co2(4)/2,Co2(5)/2,Co2(6)/2);

% On trouve Ce2 = 

% [-a^2*(4*a^2*t^2 + 4*b*(a^2-4*b^2)*t + 3*b^2*(a^2-4*b^2));

%   b*(a^2-2*b^2)*(a^2-4*b^2)*(3*b+4*t);

%   b*(a^2-2*b^2)*(a^2-4*b^2)*(3*b+4*t)]

Cordialement,
Rescassol

PS: Les deux centres sont bien sûr sur $(IM)$.

Dernière modification par Rescassol (31-12-2025 00:07:29)

DSBmath · 30-12-2025 23:50:15

Encore merci Rescassol et passe un bon nouvel an.
De même Jelobreuil passe un bon nouvel an et de même je vous souhaite à tous une bonne année 2026.

À noter que même dans le cas particulier du triangle équilatéral ces deux coniques (CC'DD'GH) et (CC'DD'NN') sont distinctes.

Bien cordialement,
Dominique

Rescassol · 31-12-2025 00:06:37

Bonne nuit et bonnes fêtes à tous,

Je n'avais pas vu ton message avant d'éditer et de poster mon dernier code.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (31-12-2025 00:09:48)

DSBmath · 31-12-2025 19:10:27

Bonsoir et bonne année 2026
Bon pour des raisons pratiques j'ai préféré rechanger les noms de certains points de façon que tous les points de nom X soient tous situés dans le même demi-plan délimités par la droite (IM) et tous les points de nom X' soient tous situés dans le même demi-plan délimités par la droite (IM) et tels que le point de nom X' soit le symétrique du point de nom X par rapport à l'axe (IM)
Avec ce changement
Le point qui s'appelait C' prend le nom de D'
Le point qui s'appelait D' prend le nom de C'
Le point qui s'appelait E prend le nom de E'
Le point qui s'appelait E' prend le nom de E
Le point qui s'appelait J prend le nom de K'
Le point qui s'appelait K prend le nom de J'
Le point qui s'appelait J' prend le nom de J
Le point qui s'appelait K' prend le nom de K

On a deux autres coniques définies par six tangentes (cinq tangentes suffisent évidemment)

isoc11

isoc12

Rescassol · 01-01-2026 11:13:41

Bonjour,

% Nouvelle suite du 31 Décembre 2025

X=Cp; Cp=Dp; Dp=X; % Interversion de C' et D'

% Conique tangente à (NC), (CC'), (C'N'), (N'D'), (D'D), (DN)

NC=Wedge(N,C); CCp=Wedge(C,Cp); CpNp=Wedge(Cp,Np);

NpDp=Wedge(Np,Dp); DpD=Wedge(Dp,D); DN=Wedge(D,N);

NulConic3=Factor(CoconiquesBary(NC,CCp,CpNp,NpDp,DpD,DN))

% Conique tangente à (DC), (CH), (HC'), (C'D'), (D'G), (GD)

DC=Wedge(D,C); CH=Wedge(C,H); HCp=Wedge(H,Cp);

CpDp=Wedge(Cp,Dp); DpG=Wedge(Dp,G); GD=Wedge(G,D);

NulConic4=Factor(CoconiquesBary(DC,CH,HCp,CpDp,DpG,GD))

% On trouve NulConic3=NulConic4=0 donc c'est gagné

Cordialement,
Rescassol

DSBmath · 01-01-2026 14:17:37

Bonjour Rescassol et encore merci pour ta participation
Bonjour à tous

En renommant les points munis d'un indice des deux coniques précédentes
Dans la figure ci-dessous les droites de même couleur se rencontrent sur la droite (d)
La seconde figure montre les points de rencontre

isoc21
isoc22

(tout cela pour un triangle isocèle quelconque et la distance IM qui n'intervient qu'en relation avec une homothétie)

DSBmath · 05-01-2026 05:16:15

Bonjour

Bon alors j'ai obtenu entre autre une famille d'ellipses indexée sur $\mathbb {Z}$
Une famille de segments de la droite (d) indexée sur $\mathbb {Z}$ et telle que E et E' divisent harmoniquement chacun des segments de cette famille

Bon une petite figure qui ne dit pas grand chose mais juste pour visualiser quelques ellipses (j'en ai placé 12) indexées de -3 à 8

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#1 30-12-2025 04:24:31

sur triangle isocèle

#2 30-12-2025 13:36:35

Re : sur triangle isocèle

#3 30-12-2025 14:02:42

Re : sur triangle isocèle

#4 30-12-2025 18:17:15

Re : sur triangle isocèle

#5 30-12-2025 19:44:27

Re : sur triangle isocèle

#6 30-12-2025 22:01:12

Re : sur triangle isocèle

#7 30-12-2025 22:13:19

Re : sur triangle isocèle

#8 30-12-2025 23:50:15

Re : sur triangle isocèle

#9 31-12-2025 00:06:37

Re : sur triangle isocèle

#10 31-12-2025 19:10:27

Re : sur triangle isocèle

#11 01-01-2026 11:13:41

Re : sur triangle isocèle

#12 01-01-2026 14:17:37

Re : sur triangle isocèle

#13 05-01-2026 05:16:15

Re : sur triangle isocèle

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