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Glozi

Invité

Points rationnels sur le cercle

Bonjour,
J'ouvre cette discussion pour parler des points de coordonnées $(x,y)$ du cercle unité qui ont leurs deux coordonnées $x$ et $y$ rationnelles. J'ai un peu réfléchi à ça cet après midi en voyant le post de troisqua sur https://les-mathematiques.net/vanilla/d … vent-iv/p2 .

Le post est séparé en deux parties, dans la première on parle de quelque chose de plus facile, la recherche de points sur le cercle unité dont les deux coordonnées sont rationnelles. Dans la deuxième partie on aborde l'énigme posée par troisqua qui consiste à comprendre les points rationnels sur le cercle unité dont les coordonnées rationnelles ont des dénominateurs qui divisent certaines puissances d'un entiers $b$. On verra que le comportement est différent en fonction du $b$ choisi.

On commence en douceur,

Un point $(x,y)$ est sur le cercle unité $\mathcal{C}$ si et seulement si les coordonnées satisfont :
$$x^2+y^2=1.$$

On peut remarquer qu'il y a déjà quelques points particuliers : $(0,1)$, $(0,-1)$, $(-1,0)$ et $(1,0)$ qui ont des coordonnées entières donc rationnelles. On sait aussi que de manière générale un point de ce cercle s'écrit $(\cos(\theta),\sin(\theta))$ avec $\theta\in [0,2\pi[$. Si on teste sur d'autres valeurs de $\theta$ pour lesquelles on sait calculer le sinus et le cosinus (du genre $\theta\in \{\pi/6,\pi/4,\pi/3\}$ on ne trouve pas d'autre point dont les deux coordonnées sont rationnelles (une seule à la limite).

Est-ce que l'histoire s'arrête ici ?

Non, car on peut remarquer que $3^2+4^2=5^2$ et donc
$$\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2=1.$$

Ainsi un nouveau point à coordonnées rationnelles sur le cercle unité est le point $(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$.

Cet exemple montre en fait que trouver un point sur le cercle de coordonnées rationnelles revient à trouver des entiers $a,b,c$ tels que
$$a^2+b^2=c^2.$$
Un tel triplet, $(a,b,c)$ est appelé triplet Pythagoricien, et il en existe en fait un paquet !

Il existe une jolie manière de repérer les points du cercle $\mathcal{C}$ : par projection stéréographique !
Notons $A=(-1,0)$ le point le plus à gauche sur $\mathcal{C}.$
Notons $\mathcal{D}$ la droite d'équation $x=1$.
Soit $B=(1,2u)$ un point mobile sur $\mathcal{D}$ (le paramètre $u$ décrit $\mathbb{R}$, le choix du facteur $2$ est juste pour avoir des résultats plus jolis).
Alors le segment $[AB]$ intersecte le cercle $\mathcal{C}$ en le point $A$ et en un unique autre point $C$ (qui dépend de $u$).

Nous avons le fait suivant :
Le point $C$ admet comme coordonnées $(\frac{1-u^2}{1+u^2},\frac{2u}{1+u^2})$.

▼preuve

Le point $C$ de coordonnées $(x,y)$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ donc $x^2+y^2=1$.
Le point $C$ appartient à la droite $(AB)$ d'équation $y=u(x+1)$.

On a donc $x^2+u^2(x+1)^2=1$
Soit $(u^2+1)x^2+2u^2x+u^2-1=0.$

On sait qu'une racine évidente de cette équation est $x=-1$ car $A$ est bien à l'intersection des deux objets. L'autre solution est donc
$$x=\frac{1-u^2}{1+u^2}$$
Comme $y=u(x+1)$ on trouve
$$y=\frac{2u}{1+u^2}.$$

Remarquons que $C$ doit être un point du cercle autrement dit, on doit avoir $x^2+y^2=1$ où $x=\frac{1-u^2}{1+u^2}$ et $y=\frac{2u}{1+u^2}$ (ce qui est facile de vérifier).

Aussi on voit qu'en faisant varier $u$, alors le point $C$ décrit tout le cercle (à l'exception du point $(-1,0)$ mais on s'en fiche car on a déjà compris qu'il avait des coordonnées rationnelles).

À ce stade on a donc construit une application :
$$\begin{array}{ccccc}f & : & \mathbb{R} & \to & \mathcal{C}\setminus\{(-1,0)\} \\
& & u &\mapsto & (\frac{1-u^2}{1+u^2}, \frac{2u}{1+u^2}) \end{array}.$$

Il est possible de montrer que $f$ ainsi définie est bijective (c'est à dire qu'à chaque point de $\mathcal{C}\setminus \{(-1,0)\}$ correspond un unique $u\in \mathbb{R}$ (la preuve n'est pas trop compliquée il suffit de construire la bijection réciproque).

L'intérêt de cette formule est qu'elle nous donne plein de points sur le cercle qui ont des coordonnées rationnelles !
En effet si $u$ est un rationnel alors clairement $\frac{1-u^2}{1+u^2}$ et $\frac{2u}{1+u^2}$ sont aussi des nombres rationnels !

Par exemple si je prend $u=\frac{12}{7}$ alors on trouve que le point
$(\frac{-95}{193}, \frac{168}{193})$ est bien un point du cercle à coordonnées rationnelles.

Nous avons montré que si $u$ est un nombre rationnel alors le point $C=f(u)$ est un point de $\mathcal{C}$ a coordonnées rationnelles. On peut également montrer que si $C=f(v)$ est un point dont les deux coordonnées sont rationnelles alors $v$ est rationnel.

▼preuve

Si $C=f(v)$ a ses deux coordonnées rationnelles alors
$x=\frac{1-v^2}{1+v^2}$ et $y=\frac{2v}{1+v^2}$ sont deux nombre rationnels. En enlevant $1$ à $y$ on trouve que
$z=y-1=\frac{-2v^2}{1+v^2}$ est aussi un nombre rationnel.
Maintenant ou bien $v=0$ auquel cas $v$ est rationnel, sinon $y$ est non nul et
$v=-z/y$ est un nombre rationnel !

Ceci permet de décrire complètement tous les triplets Pythagoriciens.
Plus précisément on peut montrer que si $(a,b,c)$ est un triplet pythagoricien  alors il existe des entiers $p,q$ tels que
$$\frac{a}{c}=\frac{q^2-p^2}{q^2+p^2}\quad \quad \frac{b}{c}=\frac{2pq}{p^2+q^2}.$$

▼preuve

Si $a^2+b^2=c^2$ alors le point $C=(\frac{a}{c},\frac{b}{c})$ est un point de $\mathcal{C}\setminus \{(-1,0)\}$. Il existe donc un $u\in \mathbb{R}$ tel que $C=f(u)$, de plus comme $C$ est à coordonnées rationnelles alors $u$ est aussi rationnel. On a donc $u=\frac{p}{q}$ et donc $$(\frac{a}{c},\frac{b}{c})=(\frac{1-(\frac{p}{q})^2}{1+(\frac{p}{q})^2}, \frac{2\frac{p}{q}}{1+(\frac{p}{q})^2}$$
En simplifiant on trouve
$$\frac{a}{c}=\frac{q^2-p^2}{q^2+p^2}\quad \quad \frac{b}{c}=\frac{2pq}{p^2+q^2}.$$

Une autre observation est que par la continuité de la fonction $f$ et par la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ alors l'ensemble des ponts du cercle unité dont les deux coordonnées sont rationnelles est dense dans le cercle unité.

Si on revient au début on avait l'impression en testant sur $\theta\in \{\pi/12, \pi/6,\pi/4,\pi/3\}$ qu'il n'y avait pas beaucoup de points sur le cercle unité dont les coordonnées sont rationnelles. Cette impression résulte d'un théorème dit théorème de Niven qui est le suivant :

Théorème : Soit $\theta\in [0,\pi/2]$ si les deux nombres $\frac{\theta}{\pi}$ et $\sin(\theta)$ sont tous les deux rationnels alors $\theta\in \{0,\pi/6,\pi/2\}$. Autrement dit en testant sur les angles de la forme $\frac{p}{q}\pi$ il est normal de ne trouver quasiment aucun point dont l'une des coordonnées est rationnelle.

▼preuve du théorème

Si on pose $T_0=1$, $T_1=X$ et $T_{n+2}=2XT_{n+1}-T_{n-1}$ alors $T_n$ est le $n$-ième polynôme de Tchebychev qui vérifie
$$\forall n\in \mathbb{N}, \forall x\in \mathbb{R}, T_n(\cos(x))=\cos(nx).$$

Pour $n\geq 1$, posons $P_n(X) := 2T_n(X/2)$, alors $P_n$ est un polynôme à coefficients $\textbf{entiers}$ qui est unitaire de degré $n$ qui vérifie
$$\forall n\in \mathbb{N}^*,\forall x\in \mathbb{R}, P_n(2\cos(x))=2\cos(nx).$$

Si $\frac{\theta}{\pi}$ est rationnel et $\sin(\theta)$ est rationnel, posons $x=\frac{\pi}{2}-\theta$, alors $\frac{x}{\pi}$ est rationnel et $\cos(x)$ est rationnel. Écrivons $x=\frac{p}{q}\pi$. alors $\cos(2qx)=1$. On a donc
$$P_{2q}(2\cos(x))=2.$$
Ainsi $y=2\cos(x)$ est un nombre rationnel solution d'une équation de la forme $y^{2q}+\sum_{n=0}^{2q-1}a_n y^{n}=0$ où les $a_n$ sont des entiers relatifs (qui proviennent des coefficients entiers de $P_{2q}$ et du $2$ du membre de droite). En écrivant $y=\frac{s}{t}$ avec $s$ et $t$ des entiers premier entre eux on arrive à
$s^{2q}+tN=0$ où $N$ est un entier. Ceci montre que $t$ divise $s^{2q}$ ce qui implique que $t=1$ (car $s$ et $t$ étaient premiers entre eux) et donc que $y$ est un entier.

Finalement $y=2\cos(x)$ est un entier, on ne peut avoir que $\cos(x)\in \{-1,-1/2,0,1/2,1\}$ ce qui donne finalement les seuls angles exceptionnels donnés par le théorème.

La suite du problème est essentiellement la question de troisqua que j'ai mentionnée au début du post, il/elle demande s'il existe une infinité de points sur le cercle unité dont chacune des coordonnées est un nombre décimal, plus généralement l'ensemble de ces points décimaux sur le cercle unité est-il toujours dense dans le cercle ? Encore plus généralement, si au lieu de considérer les nombres décimaux (liés à la base $10$) on regarde des nombres dont l'écriture est finie en base $b\geq 2$ ? A-t-on des bases qui se comportent mieux que d'autres ?

Si $b\geq 2$ est un entier, on note $\mathbb{Z}[\frac{1}{b}]$ l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire $\frac{N}{b^k}$ où $N$ est un entier relatif et où $k$ est un entier naturel. Cet ensemble correspond aux nombres qui ont une écriture finie en base $b$. Pour $b=10$ on retombe sur les nombres décimaux.

Maintenant, faisons un détour dans l'anneau des entiers de Gauss $\mathbb{Z}[ i]$. L'ensemble $\mathbb{Z}[ i]$ est juste l'ensemble des nombres qui s'écrivent sous la forme $x+iy$ avec $x,y\in \mathbb{Z}.$
Observons qu'on a une jolie application :
$$\begin{array}{ccccc}N & : & \mathbb{Z}[ i] & \to & \mathbb{N} \\
& & x+iy & \mapsto & x^2+y^2 \end{array}.$$
Cette application est jolie car si $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$ sont deux points de $\mathbb{Z}[ i]$ alors $$N(zz')=N(z)N(z').$$

▼preuve

On peut écrire $N(z)=|z|^2$ où $|z|$ désigne le module de $z$, il est bien connu que $|zz'|=|z||z'|$ ce qui permet de conlure.

Regardons ce qui se passe pour $b=5$. On peut écrire
$b=5 = (2+i)(2-i)$.
Si on pose $2+i=x+iy$ et si on écrit $(x+iy)^k=x_k+iy_k$ alors $x_k$ et $y_k$ sont des entiers, et
$$b^k = N((2+i)^k) = x_k^2+y_k^2.$$
On en déduit que $(\frac{x_{2k}}{b^k}, \frac{y_{2k}}{b^k})$ est un point du cercle unité dont les coordonnées ont une écriture finie en base $b=5$.
Par exemple, pour $k=1$ on trouve le point
$(\frac{3}{5},\frac{4}{5}).$
Pour $k=2$ on trouve le point
$(\frac{-7}{25}, \frac{24}{25})$
Pour $k=3$ on trouve le point $(\frac{-117}{125}, \frac{44}{125}).$

Plus formellement si on pose $z=\frac{1}{5}(3+4i)$ alors $z$ est un point du cercle dont les deux coordonnées sont dans $\mathbb{Z}[1/5]$ et chacun des point $z^k$ sera un point du cercle ayant cette même propriété. Reste à savoir si tous ces nombres sont différents et si la collection $\{z^k\  |\ k\in \mathbb{N}\}$ est dense dans le cercle unité.

Le fait est que $z$ peut s'écrire sous la forme $z=e^{i\theta}$ avec un certain $\theta\in [0,\pi/2]$. Comme $z$ a ses coordonnées rationnelles et non triviales alors par le théorème de Niven (qu'on a rappelé précédemment), on en déduit que $\frac{\theta}{\pi}$ est un nombre irrationnel. Il est alors classique que l'ensemble $\{z^k\  |\ k\in \mathbb{N}\}=\{e^{ik\theta}\ |\ k\in \mathbb{N}\}$ est infini et même dense dans le cercle unité.

Voilà qui règle le cas de $b=5$. Mais alors pour les autres bases ?
Pour $b=10$ et plus généralement pour les bases multiples de $5$ ce n'est pas trop dur, car un nombre dans $\mathbb{Z}[1/5]$ est aussi dans $\mathbb{Z}[1/10]$ et plus généralement dans tous les $\mathbb{Z}[1/N]$ où $N$ est un multiple de $5$.

Mais que dire de $b=7$ ou $b=39$ alors ?
Moralement ce qui se passe pour $b=5$ est qu'on a trouvé un point particulier du cercle à coordonnées dans $\mathbb{Z}[1/5]$ (et non trivial) puis en élevant l'affixe de ce point à toutes les puissances on a trouvé un ensemble dense de points qui convenait.

Cette démarche fonctionne pareil dès qu'on trouve un point non trivial à coordonnées dans $\mathbb{Z}[1/b]$.
On a vu que pour $5$ on était parti de $5=2^2+1^2 =(2+i)(2-i)$.

Si la base $b$ possède un diviseur autre que $2$ qui s'écrit comme la somme de deux carrés (de manière non triviale). Alors on peut refaire exactement le même raisonnement, on peut dire qu'un diviseur de $b$ s'écrit $x^2+y^2 =(x+iy)(x-iy)$ et alors les points $\frac{(x+iy)^{2k}}{(x^2+y^2)^k}$ sont des points du cercle qui conviennent, on exclut le cas du diviseur $2$ car on veut pouvoir appliquer le théorème de Niven pour garantir que l'argument de $x+iy$ est bien incommensurable avec $\pi$.

Un théorème de Fermat caractérise tous les entiers qui s'écrivent comme somme de deux carrés (il faut faire attention : on ne veut pas d'écriture triviale du style $2^2=0^2+2^2$). Ce théorème dit par exemple que si $b$ admet un diviseur premier $p$ impair congru à $1$ modulo $4$, alors $b$ admet un diviseur (autre que $2$) qui est somme de deux carrés de manière non triviale et donc l'ensemble des points du cercle unité dont les coordonnées sont dans $\mathbb{Z}[1/b]$ est dense dans le cercle.

Quid d'une base $b$ qui n'admet comme diviseurs premiers que $2$ ou des $p$ congrus à $3$ modulo $4$ ?
Alors je pense que cette fois ci le cercle ne contiendra pas beaucoup de points dont les coordonnées sont dans $\mathbb{Z}[1/b]$.

En effet, cherchons un point $(\frac{x}{b^k}, \frac{y}{b^k})$ du cercle $\mathcal{C}$, on doit avoir
$$x^2+y^2= b^{2k}.$$
Dans l'anneau $\mathbb{Z}[ i]$, cela se réécrit $(x+iy)(x-iy)=b^{2k}$. Les diviseurs premiers de $b^{2k}$ sont dans l'anneau $\mathbb{Z}$ sont choisis parmi $2$ et les $p$ congrus à 3 modulo 4.

Il se trouve que les $p$ congus à 3 modulo 4 sont toujours premiers dans $\mathbb{Z}[ i]$. En effet, si on suppose que dans $\mathbb{Z}[ i]$ on peut écrire $p=zz'$ alors $N(p)=N(z)N(z')$ donc $p^2=N(z)N(z')$ donc $N(z)=N(z')=p$ (pourvu $z$ et $z'$ ne sont pas irréductibles). Or, le théorème de Fermat affirme qu'il est impossible d'avoir $a^2+b^2=p$ si $p$ est premier congru à 3 modulo 4 ce qui conclut la preuve.

En revanche, $2$ n'est pas premier dans $\mathbb{Z}[ i]$ car $2=1^2+1^2=(1+i)(1-i)$.

On déduit néanmoins de tout ça que si $x^2+y^2=b^{2k}$ alors $x+iy$ en tant que diviseur de $b^{2k}$ est produit de certains $p$ congrus à 3 modulo $4$ et d'une certaine puissance de $(1+i)$ et d'une certaine puissance de $(1-i)$. Finalement, on en déduit qu'il existe un certain entier $N$ et un certain entier $m$ tels que
$x+iy=N(1\pm i)^m.$
Il n'est pas trop dur de calculer les $(1\pm i)^m$, et on trouve que ou bien $x=0$ ou bien $y=0$ ou bien $x=\pm y$ mais alors $2x^2=b^{2k}$ ce qui est aussi absurde car cela montrerait que $\sqrt{2}$ est rationnel...

Voilà qui conclut ce petit texte !
N'hésitez pas si vous avez des questions, remarques, des arguments différents ou d'autres problèmes !

Bonne journée

gebrane

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Re : Points rationnels sur le cercle

Bonjour Glozi
Avant de lire en détails  ton post , je tiens à dire que personnellement, j’ai trouvé la question ardue et je n’avais trouvé aucun angle d’attaque au début. Mais avec les indications de Troiqua, j’ai compris pourquoi ça marche pour la base 10. Malheureusement, un intervenant a tout gâché en donnant une réponse toute prête générée par Gemini. La réponse de gemini est juste mais les arguments sont superficiels

Glozi

Invité

Re : Points rationnels sur le cercle

Mon angle d'attaque a été de voir qu'il fallait chercher des solutions de $x^2+y^2=b^{2k}$. Du coup, il fallait que je me rafraichisse la mémoire sur les triplet Pythagoriciens et donc sur les points à coordonnées rationnelles sur le cercle (d'où la première partie du post). Ensuite, en connaissant le théorème des deux carrés on voit que certains entiers s'écrivent comme somme de deux carrés alors que d'autres non, j'en ai profité pour me rafraichir la mémoire sur la preuve de ce théorème, ce qui nous amène naturellement dans $\mathbb{Z}[ i]$ une fois dans ce joli anneau le problème de troisqua devient beaucoup plus accessible !

Sinon oui j'ai cru comprendre que l'IA avait trouvé la réponse (modulo quelques problèmes de formulation), c'est assez effrayant je trouve...

En 2024, l'IA avait un niveau en maths de CE1 (et encore...), un an plus tard elle peut faire le calendrier de l'avent sur les-mathématiques.net, que pourra-t-elle faire l'année prochaine ? (même si la comparaison n'a pas grand sens, je rappelle que pour un humain il faut compter bien plus d'une année pour passer du niveau CE1 a des problèmes post-bacs).

Enfin, je n'ai pas forcément envie que ce post devienne une discussion autour de l'IA mais plutôt qu'on partage des idées autour de ce résultat mathématique. Partagez vos idées, arguments ou d'autres questions mathématiques sur ce sujet !

gebrane

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Re : Points rationnels sur le cercle

Normalement, il faut aboutir à cette conclusion que je ne vois pas sauf erreur
Proposition. Soit b ⩾ 2 un naturel. Les points du cercle unité dont les coordonnées admettent un développement
fini en base b sont denses dans ce cercle si, et seulement si b possède au moins un diviseur premier impair congru
à 1 modulo 4

Glozi

Invité

Re : Points rationnels sur le cercle

Tu ne vois pas cette conclusion pourtant il me semble bien que c'est à celle ci que j'arrive ! (bien que j'admette qu'elle ne soit pas écrite strictement sous cette forme).
Bonne soirée

gebrane

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Re : Points rationnels sur le cercle

Bonjour à tous,
Puisque le titre parle des points rationnels sur le cercle. J'ai une question:
Si $C$ est un cercle centré en (0,0) . Je suppose que $C\cap \mathbb Q^2$ est non vide. Est ce que $C\cap \mathbb Q^2$ est forcément  dense dans $C$ ?

Glozi

Invité

Re : Points rationnels sur le cercle

Bonjour,
Merci pour ta question,
si $R>0$, notons $\mathcal{C}_R$ le cercle de rayon $R$ centré en l'origine. Supposons que $\mathcal{C}_R$ intersecte $\mathbb{Q}^2$. On a donc des entiers $a_0,b_0,c_0$ tels que

$$(\frac{a_0}{c_0})^2+(\frac{b_0}{c_0})^2=R^2$$

Maintenant si on a $x^2+y^2=1$ alors

$$(\frac{a_0 x +b_0 y}{c_0})^2+(\frac{a_0 y -b_0 x}{c_0})^2=R^2$$

Ceci montre qu'on a une application de $\mathcal{C}_1$ vers $\mathcal{C}_R$ qui, vue la formule ci dessus, envoie des points de $\mathbb{Q}^2$ sur des points $\mathbb{Q}^2$. Cette application est continue et bijective ce qui donne la conclusion.

Exemple : Pour $R=\sqrt 2$ le point $(1,1)$ est sur le cercle. L'application devient juste $(x,y)\mapsto (x+y, x-y)$. Par exemple, au point (4/5, 3/5) du cercle de rayon $1$ correspond le point (7/5, 1/5) qui est bien sur le cercle de rayon $R=\sqrt 2$.

Bonne journée

gebrane

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Re : Points rationnels sur le cercle

Sublime!
Un argument qui transfère la densité du cercle unité vers n'importe quel cercle de rayon R  ayant un point rationnel