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ANGUILET

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Groupe quotient par le centralisateur

Bonsoir tout le monde J'espère que vous allez bien??
J'ai vraiment besoin d'aide pour cet exo surtout au numéro 2 !!
*Soit G un groupe. Pour x ∈ G, on définit :*

- Le *centralisateur de x* dans G : 
  *C_G(x) = { y ∈ G | xy = yx }*

- La *classe de conjugaison de x* dans G : 
  *x^G = { g⁻¹xg ; g ∈ G }*

1. Montrer que *C_G(x)* est un *sous-groupe de G*.

2. Montrer que le *cardinal de x^G* est donné par : 
   *|x^G| = [G : C_G(x)]* 
   *(Indice : on pourra montrer que x^G est équipotent à G / C_G(x)).*

3. Soit *ℛ* la *relation sur G* définie par : 
   *x ℛ y ⇔ ∃g ∈ G tel que y = g⁻¹xg*

   a) Montrer que ℛ est une *relation d’équivalence*. 
   b) Vérifier que *x^G* est la *classe d’équivalence de x*. 
   c) Montrer qu’il existe *x₁, ..., x_r ∈ G \ Z(G)* tels que : 
   *G = Z(G) ∪ ⋃_{i=1}^r x_i^G*

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Tu peux copier ça tel quel dans ton cahier. Si tu veux, je peux aussi t’aider à bien présenter les réponses.

bridgslam

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Re : Groupe quotient par le centralisateur

Bonsoir,

Pour le 2, essaye de montrer que les classes de $g$ et $h$ selon $C_x$ sont égales ssi $g^{-1}xg=h^{-1}xh$.
C'est facile, il suffit de dire ce que cela signifie.
Ne manque-t-il pas une hypothèse de finitude pour la dernière question?

Bon courage

Dernière modification par bridgslam (15-12-2025 09:08:01)

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

bridgslam

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Re : Groupe quotient par le centralisateur

Bonjour,

J'ai peut-être été un peu rapide.. pour la question 2/.

$\overline{g}=\overline{h} <=> gh^{-1} \in C_x <=> gh^{-1}x=xgh^{-1} <=> h^{-1}xh = g^{-1}xg$

Le sens <= de l'équivalence montre  qu'on peut définir cette application:
$x^{G} \rightarrow G/C_{x}$
$ g^{-1}xg \rightarrow \overline{g}$

Le sens => de l' équivalence montre qu'elle est injective.
Elle est surjective de par sa définition-même.

D'où la bijection annoncée.

Pourquoi ne réponds-tu pas à la question que je t'ai posée?
Sauf erreur de ma part rien ne dit sans hypothèse supplémentaire que ces r éléments ( en quantité finie) existent.

Dernière modification par bridgslam (16-12-2025 13:56:16)

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