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Jean-Marin

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Le déterminant est continu?

Bonjour à tous,
Il me faut déterminer (sans mauvais jeu de mots) si le déterminant d'une matrice quelconque est une application continue.
Plus précisément, l'application:
[tex]f:  \begin{cases}  M_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} \\ M \longmapsto det(M) \end{cases}[/tex]
est-elle continue?
J'ai essayé de partir de la définition du déterminant
[tex]det(A)=det(a_{i,j})=\sum_{\sigma\in S_{n}} ({-}1)^{Sign(\sigma)} \prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma{(i)}}[/tex]
Le problème c'est que
1. c'est pénible à manipuler
2. le déterminant n'est pas linéaire et donc je ne sais pas d'où partir.
Est-ce que vous avez une idée?
Je vous remercie par avance, excellent week-end à vous tous.

P.S. excusez moi la question est plutôt: montrer que le déterminant EST continu

Roro

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Re : Le déterminant est continu?

Bonjour,

La formule que tu évoques à la gros désavantage d'être "compliquée" mais l'énorme avantage de montrer que le déterminant est polynomial en les coefficients de la matrice...

Roro.

Eust_4che

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Re : Le déterminant est continu?

Bonjour à tous et à toutes,

Pour compléter la réponse de Roro, et comme je pense que tu dois être au début de tes études supérieures, j'en profite pour te donner le conseil suivant : ne pas se laisser intimider par une expression et toujours simplifier. Ici, tu as un gros machin
$$
\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} (-1)^{\textrm{sign}(\sigma)} \prod_{i  = 1}^n a_{i, \sigma(i)}.
$$
Tu peux voir qu'il s'agit d'une simple somme finie d'expression
$$
(-1)^{\textrm{sign}(\sigma)} \prod_{i = 1}^n a_{i, \sigma(i)} = \pm a_{1, \sigma(1)} \ldots a_{n, \sigma(n)}
$$
et travailler avec le dernier membre.

E.

Dernière modification par Eust_4che (05-12-2025 23:22:28)

gebrane0

Invité

Re : Le déterminant est continu?

Par récurrence sur n ?

Roro

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Re : Le déterminant est continu?

Bonjour,

Par récurrence sur n ?

Je serai bien curieux de voir une démonstration par récurrence sur la taille de la matrice pour démontrer cette continuité !
@gebrane0 : peux-tu nous en dire plus sur cette idée ???

Roro.

Dernière modification par Roro (06-12-2025 10:37:05)

bridgslam

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Re : Le déterminant est continu?

Bonjour,

L'idée est peut-être d'exploiter le développement selon des combinaisons de mineurs continus par hypothèse de récurrence, donc continues, cependant la dimension de l'espace devant augmenter de 1, cette idée me semble très délicate  pour ne pas dire douteuse.
Il restera à voir chaque espace de dimension n-1 comme un hyperplan du suivant de dim n, prolonger la norme adoptée.. en tous cas cela me semble de prime abord difficile à rédiger formellement rigoureusement.

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

gebrane

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Re : Le déterminant est continu?

Bonjour,
Pourquoi ce doute?
Considérons l'application : $$\det : \mathbb{R}^{n^2} \to \mathbb{R}$$
On peut écrire le déterminant comme : $$\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \det(A_{ij})$$ où $A_{ij}$ est la matrice obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$. Par récurrence sur $n$, on montre que $\det$ est continue.

bridgslam

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Re : Le déterminant est continu?

Certes, tu utilises donc une combinaison linéaire de mineurs ( voir mon message précédent), mais les fonctions det ( celle de gauche et les autres à droite de l'égalité) ne sont pas  définies sur le même espace vectoriel, c'est juste calculatoire.
Pour en déduire quelque chose sur la continuité, on s'attend à avoir des fonctions (det) définies sur le même espace.

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gebrane

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Re : Le déterminant est continu?

Désolé je n'ai pas précisé l idée derrière
Pour chaque $(i,j)$, je définis  la fonction :
$$\phi_{ij} : M_n(\mathbb{K}) \to M_{n-1}(\mathbb{K}), \quad A \mapsto M_{ij}(A)$$
qui extrait le mineur $(i,j)$.

1. $\phi_{ij}$ est continue  ( lineaire + dim finie)
2. Par hypothèse de récurrence, la fonction $\det_{n-1} : M_{n-1}(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}$ est continue
3. Donc la composée $\det_{n-1} \circ \phi_{ij}$ est continue sur $M_n(\mathbb{K})$

Le développement par rapport à la ligne $i$ s'écrit :
$$\det_n(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \cdot (\det_{n-1} \circ \phi_{ij})(A)$$

C'est une combinaison linéaire de produits de fonctions continues sur $M_n(\mathbb{K})$, donc $\det_n$ est continue.

Roro

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Re : Le déterminant est continu?

Bonsoir,

Merci pour cette preuve gebrane.

Roro.

Dernière modification par Roro (06-12-2025 19:38:47)

bridgslam

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Re : Le déterminant est continu?

Bonsoir,

Oui là ok- merci

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Jean-Marin

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Re : Le déterminant est continu?

Bonjour,
OK merci à tous c'est effectivement plus simple qu'il n'y paraît mais j'ai toujours du mal à voir les idées "simples" qu'il y a souvent derrière les formules apparemment "compliquées".
Merci beaucoup en tous cas.
JM.