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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 06-12-2025 12:47:36
- Malette_Suspecte
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- Messages : 5
Une récurrence est-elle possible pour cet exercice ?
Bonjour à tous,
J'aurais une question sur l'exercice suivant (exercice 40, limites, maths sup) :
Soit f : R+ -> R continue et surjective.
Démontrer que 0 admet une infinité d'antécédents par f.
Est-il possible de faire cet exercice par récurrence ?
En posant Pn : "Pour n >=1, il existe un intervalle [0,x0] sur lequel 0 admet au moins n antécédents"
L'initialisation (cas n =1) est vérifiée par surjectivité de f.
Pour l'hérédité, on pars de l'hypothèse de récurrence : Il existe un intervalle [0,x0] sur lequel f admet au moins n antécédents. Par continuité de f, f est bornée et atteint ses bornes sur [0,x0]. On note m et M respectivement le minimum et le maximum de f sur [0,x0].
2 cas à traiter :
1) f(x0) > 0 (ou f(x0) < 0) :
Par surjectivité de f, pour tout y < m <= 0, il existe x > x0 tel que f(x) = y < 0. Le théorème des valeurs intermédiaires nous assure alors de l'existence de c dans [x0, x] tel que f(c) = 0. Il existe donc un intervalle [0,c] sur lequel 0 admet au moins (n+1) antécédents par f. Le cas f(x0) < 0 se démontre de la même façon (aux signes près).
2) Comment traiter rigoureusement le cas f(x0) = 0 (avec x0 qui fait parti des n antécédents) ? Est-ce que je peux dire "Alors soit f est nulle sur un intervalle [x0, x0 + epsilon], auquel cas f admet une infinité d'antécédents, soit f change de signe et on revient alors au cas précédent".
On obtient alors que pour tout n >= 1, il existe un intervalle [0,x0] sur lequel 0 admet au moins n antécédents, ce qui implique que 0 admet une infinité d'antécédents.
La "démonstration" (si elle en est-une) est-elle juste ?
Merci à vous.
PS : Je sais que l'on peut traiter cet exercice différemment, en raisonnant par l'absurde, mais je souhaite savoir si cette méthode marche également (et surtout pourquoi elle ne marche pas, dans le cas contraire).
Dernière modification par Malette_Suspecte (06-12-2025 12:49:16)
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#2 06-12-2025 14:04:37
- bridgslam
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Re : Une récurrence est-elle possible pour cet exercice ?
Bonjour,
Si l'image réciproque de {0} était finie, en notant b son pge, l'image de [0, b] serait un segment [c,d] ( f est continue) contenant 0.
L'image de ]b , +inf[ serait >0 ou bien <0 ( à cause du tvi). En tous cas l'image totale de R+ serait un intervalle minoré ou majoré, selon les cas.
f ne serait donc pas surjective.
Dans le 1) de ton raisonnement, pourquoi affirmer que x>x0? Qu'est-ce qui le justifie?
Dernière modification par bridgslam (06-12-2025 14:14:59)
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
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#4 06-12-2025 17:20:07
- bridgslam
- Membre Expert
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Re : Une récurrence est-elle possible pour cet exercice ?
Bonsoir,
Ok gebrane...
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#5 06-12-2025 17:59:36
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 336
Re : Une récurrence est-elle possible pour cet exercice ?
Bonsoir,
Ta démonstration me semble juste, mais je pense qu'on peut se passe de discuter suivant le signe de f(x_0). Tu considères $y_1>\max(M,0)$ et $y_2<\min(m,0)$. Alors tu sais qu'il existe $x_1>x_0$ et $x_2>x_0$ tel que $f(x_1)=y_1$ et $f(x_2)=y_2.$ Il suffit ensuite d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires entre $x_1$ et $x_2$.
F.
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#7 06-12-2025 20:50:58
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
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- Messages : 1 887
Re : Une récurrence est-elle possible pour cet exercice ?
Bonsoir,
Sans question de finitude (plus restrictive), la même démarche montre que l'ensemble des antécédents ne peut pas être majoré, résultat plus large.
Le sup s (fini) serait en effet aussi un antécédent ( f étant continue, l'ensemble des antécédents est fermé), on peut donc à nouveau considérer l'image du segment [0,s] et celle de son complémentaire, avec la même conclusion contradictoire pour la surjectivité:
de façon générale si une fonction surjective envoie une partie dans une demi-droite, l'image de son complémentaire ne peut pas être borné , ce qui serait le cas justement ici avec un segment.
Dernière modification par bridgslam (14-12-2025 23:37:27)
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#8 07-12-2025 06:52:03
- Malette_Suspecte
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- Messages : 5
Re : Une récurrence est-elle possible pour cet exercice ?
Bonjour. Merci à tous pour vos réponses.
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#9 07-12-2025 11:18:29
- bridgslam
- Membre Expert
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Re : Une récurrence est-elle possible pour cet exercice ?
Bonjour,
On peut aussi rédiger une récurrence naturelle ainsi (en fait qui croise l'autre preuve directe sans récurrence):
Soit P(n) la propriété : "0 admet au moins n antécédents".
P(1) est vraie car f est surjective, donc 0 admet au moins un antécédent.
Si P(n) est vraie , 0 possède au moins x1 <x2 <....<xn antécédents nommés rangés par ordre croissants.
Si pour tout x > xn f(x) est non nul:
En vertu du TVI , soit pour tout x f(x) >0, soit pour tout x f(x) <0.
L'image de [0,xn] par f étant un segment ( f est continue), f(R+) est minoré ou majoré, donc f n'est pas surjective contrairement à l'hypothèse.
Donc il existe au moins x > xn tel que f(x) = 0. Autrement dit, P(n+1) est vraie.
conclusion: P(n) est vraie pour tout n, et donc le nombre d'antécédent de 0 n'est pas fini.
Remarque: cet argument donne moins d'informations sur l'emplacement des zéros de f, qu'on pourrait croire "piégés" dans un intervalle borné.
Ce n'est pas le cas bien-sûr, ce que met en évidence la preuve directe.
Question annexe: Si l'ensemble des zéros est non dénombrable, ne contient-il pas forcément un intervalle? Des exemples ou contre-exemples?
Dernière modification par bridgslam (07-12-2025 11:44:16)
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