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gebrane

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Dimension de commutant d'un endomorphisme

Pour s'amuser
Si E est de dimension finie n et qu'il existe u∈L(E)  et p, q ≥1 tels que
$\text{Im}(u^p) = \text{Ker}(u^q)$ . Montrer que
1.  $\dim(E)$ est un multiple de $p+q$.
2.  $\dim(C(u)) = \frac{(\dim E)^2}{p+q}$. avec C(u) :  commutant de u

Glozi

Invité

Re : Dimension de commutant d'un endomorphisme

Bonjour,
Merci pour l'exo, je me risque à faire une proposition :

▼proposition

1ère étape : si un tel $u$ existe alors $u$ est un endo nilpotent.
En effet, soit $x\in E$ alors $u^{p}(x)\in\text{Im}(u^p)=\text{Ker}(u^q)$ on a donc $u^{p+q}(x)=0$. Cela vaut pour tout $x$ donc $u$ est nilpotente d'indice au plus $p+q$.

2ème étape : réduction de Jordan. L'idée est de dire qu'on peut trouver une base dans laquelle la matrice de $u$ s'écrit
$\text{diag}(J_{n_1}\dots,J_{n_k})$ ou $J_{n_k}$ est une matrice carrée de taille $n_k\times n_k$ qui ne contient que des zéros sauf au dessus de la diagonale principale où il n'y a que des $1$.
(Ex : $J_3 = \begin{pmatrix}0& 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0&0&0\end{pmatrix}$)
Si on ne veut pas utiliser la réduction de Jordan, on fait pas à pas : on choisi $x$ non nul au hasard et on trouve $m$ maximal de sorte que la famille $(x,u(x),u^2(x),\dots, u^{m-1}(x))$ soit libre. Si $F$ est le sous espace engendré par cette famille, alors $F$ est stable par $u$ et $u$ induit donc un endo nilpotent sur $F$, on déduit que $u^m(x)=0$ et cela donne l'un des blocs souhaités. On réitère en repartant d'un autre $y$ non nul qui n'est pas dans $F$ etc...

3ème étape : On reprend l'égalité $\text{Im}(u^p)=\text{Ker}(u^q)$.
On raisonne bloc par bloc.  On a $\text{Ker}(J_n^q)=\text{Vect}(e_1,\dots,e_q)$ et $\text{Im}(J_n^p)=\text{Vect}(e_1\dots,e_{n-p})$ du coup il n'y a égalité que si $n=p+q$. Ceci montre que chaque bloc doit être de taille $p+q$ et on a donc une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ s'écrit $\text{diag}(J_{p+q},\dots, J_{p+q})$. Notons que cela montre en particulier que $n$ est un multiple de $p+q$.

4ème étape : Le commutant. Une matrice M de taille $n\times n$ écrite en blocs de taille $(p+q)\times (p+q)$ commute avec $\text{diag}(J_{p+q},\dots, J_{p+q})$ si et seulement si chacun de ses blocs commute avec $J_{p+q}$. Or la dimension du commutant de $J_{p+q}$ est juste $p+q$ (calcul très rapide). Du coup la dimension du commutant de $u$ est juste $(p+q)$ fois le nombre de blocs dans $M$ à savoir $(n/(p+q))^2$. Cela donne bien la réponse attendue.

Bonne journée

gebrane

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Re : Dimension de commutant d'un endomorphisme

Preuve élégante
Il faut traiter séparément les cas p>n ou q>n

glozi

Invité

Re : Dimension de commutant d'un endomorphisme

Bonjour,
Oui, c'est vrai que dans ma tête je pensais $p\leq n$ et $q\leq n$. En fait on peut faire cette hypothèse sans restriction de généralité puisque si $k\geq n$ alors $\text{Im}(u^k)=\text{Im}(u^n)$ et $\text{Ker}(u^k)=\text{Ker}(u^n)$. En effet, c'est l'argument classique qui consiste à dire que si $F_k:= \text{Ker}(u^k)$, alors $(F_k)_k$ est une suite croissante de sous espaces vectoriels de $E$ et que si $F_{k_0}=F_{k_0+1}$ alors $(F_k)_k$ est stationnaire à partir du rang $k_0$. Comme la dim de $E$ est $n$, alors $F_k$ stationne à partir d'un certain $k_0\leq n$. Le même genre d'argument marche pour l'image au lieu du noyau.
Bonne journée

gebrane

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Re : Dimension de commutant d'un endomorphisme

Bonjour Glozi
On peut démontrer un joli lemme
Lemme  : Si E de dim finie n >0 et $\text{Im}(u^p) = \text{Ker}(u^q)$ avec pour certains  $p,q \ge 1$  alors  nécessairement $p \leq n$  et  $q \leq n$ .
remarque si E est l espace nul alors dim E=0  (p+q divise 0) et dim C(u)=0