Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Fred

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Cercles tangents

Bonjour,

Dans la figure ci-dessous, le cercle violet a pour diamètre 2, le cercle vert a pour diamètre 3 et ils sont tous les deux tangents. Quel est le diamètre du cercle noir ?

Fred.

Roro

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Re : Cercles tangents

Bonjour,

En utilisant le théorème de...

▼Texte caché

...Pythagore, je dirai que le diamètre du grand cercle vaut 9.

Je m'y suis pris trop vite et j'ai mélangé rayon et diamètre...  ma réponse dans le post #7

Roro.

Dernière modification par Roro (28-11-2025 18:29:46)

Bernard-maths

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Re : Cercles tangents

Bonsoir à tous !

Moi Pythagore me donne plutôt 5,798371326684484845509413337863...

B-m

---

Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !

Imod

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Re : Cercles tangents

Bonjour à tous les deux

▼ma réponse

Je suis coutumier des erreurs de calcul mais en doublant la taille de la figure et prenant le symétrique par rapport au diamètre on obtient un triangle isocèle dont les côtés sont  $\sqrt{90},\sqrt{90}$ et $6$ . Il n'y a plus qu'à calculer le rayon du cercle circonscrit à ce triangle pour avoir le diamètre du cercle initial ( c'est immédiat ).

Imod

[Edit Fred]
Bonjour Imod, j'ai mis ta réponse dans des balises [ spoiler] pour entretenir le suspense. [/ spoiler]

Dernière modification par Imod (28-11-2025 17:50:17)

Glozi

Invité

Re : Cercles tangents

Bonjour,
Merci pour l'énigme

▼ma réponse

J'ai une solution très moche qui consiste à tracer des triangles rectangles un peu partout et à utiliser le théorème Pythagore pour calculer les longueurs manquantes...
Si le rayon du cercle bleu est $a$ et celui du cercle vert est $b$, je trouve que le rayon du cercle noir est $a+b$ (résultat surprenamment simple qui suggère ou bien que j'ai fait une erreur ou alors qu'il doit exister une solution élémentaire...)
Je pense donc que le diamètre du grand cercle noir vaut $5$.

Je me demande s'il y a une solution élégante/élémentaire à ce problème ?

Bonne journée

jpp

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Re : Cercles tangents

Salut

▼une idée

D = 90/18 = 5

Avec Pythagore et pour finir avec les triangles rectangles semblables

Dernière modification par jpp (28-11-2025 17:56:57)

Roro

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Re : Cercles tangents

Oups, dans ma précipitation j'avais pris des diamètres pour des rayons...

▼une idée

Toujours avec Pythagore : D = 4.5.

Mais en voyant vos réponses, je dois me planter car pour moi c'est élémentaire une fois qu'on a tracer le bon triangle !

Je confirme : j'ai fait n'importe quoi et je suis allé beaucoup trop vite... ma réponse est fausse !

Roro.

Dernière modification par Roro (28-11-2025 18:52:43)

Fred

Administrateur

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Re : Cercles tangents

▼@Glozi @jpp

Je trouve comme vous, et à mon avis j'ai un argument très similaire à celui de jpp

▼@Roro

Il te manque un bout je crois

▼@Bernard-maths

C'est beaucoup trop compliqué !

▼@Imod

Cela donne combien une fois le calcul fini ?

F.

Roro

Membre expert

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Re : Cercles tangents

Oui, Fred, j'ai voulu ne pas réfléchir...

▼Après réflexion

Je trouve 5 avec une méthode sans doute différente (dans son approche mais ça doit être équivalent) : le point en haut à droite du demi-cercle vert a pour coordonnées $(4.5,1.5)$ dans un repère dont le centre serait en bas à gauche... Ensuite, il faut trouver l'équation du grand cercle qui est de la forme $(x-x_c)²+y²=x_c²$, $x_c$ étant le rayon dudit cercle. Puisque ce cercle passe par le point de coordonnées $(4.5,1.5)$, on résout une équation linéaire dont la solution est $x_c=2.5$...

Dernière modification par Roro (28-11-2025 19:05:32)

Imod

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Re : Cercles tangents

@Fred

Je découvre le forum dont je n'ai pas encore assimilé toutes les subtilités , après les images le blankage . Le diamètre fait

▼Texte caché

5

et on peut le lire comme dans le grenier d'une maison .
Imod

Dernière modification par yoshi (29-11-2025 09:50:56)

Bernard-maths

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Re : Cercles tangents

Bonsoir !

▼Texte caché

ouais, ça fait 5 !

B-m

Dernière modification par yoshi (29-11-2025 09:50:42)

---

Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !

Imod

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Re : Cercles tangents

Une illustration en doublant les longueurs ( on reconnait le fameux triangle 3-4-5 cher aux collégiens ) .

▼Texte caché

Imod

Dernière modification par yoshi (29-11-2025 09:53:28)

jpp

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Re : Cercles tangents

Salut à tous

▼Une démonstration :

----------------------------------------------------------
[Edit]/@Yoshi - Mise sous spoiler

Dernière modification par yoshi (29-11-2025 09:52:09)

Imod

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Re : Cercles tangents

Une remarque pour les modérateurs

J’ai été obligé de sollicité la bienveillance de Bernard pour comprendre comment insérer une image dans un message . Deux modérateurs sont intervenus pour cacher certains de mes messages et laisser ainsi le plaisir de la recherche aux volontaires , j’aurais pu le faire moi-même si j’avais su comment . Je me doute bien que ces sujets comme d’autres sujets voisins ont déjà été évoqués ici ou ailleurs et que des réponses ont été apportées . Je découvre ce forum vraiment sympa mais dans la barre des tâches rien n’indique comment faire . Les règles de fonctionnement du forum rappellent certaines bases de civilité , ce n’est pas inutile mais n’apportent pas de renseignement pratique sur l’utilisation du forum .
Ce message n’est pas agressif , je veux bien qu’on m’explique comment « spoiler » ou « blanker » un message mais il faudra ensuite l’expliquer à tout nouveau membre .
Amicalement Imod

Fred

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Re : Cercles tangents

Pas de bol c'est en tête du forum consacré aux énigmes pas celui consacré à la géométrie

https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=4901

Imod

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Re : Cercles tangents

Ok

▼Merci !

Dommage que la balise n'apparaisse pas dans la barre de menu :)

Imod

yoshi

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Re : Cercles tangents

Bonjour,

2 modos ?
Nan, ça fait un bail que je suis tout seul dans ce rôle ingrat...
Fred, c'est le créateur, propriétaire du site et son Administrateur...
Histoire de Bimath

Blankage
Là, je plaide coupable : je n'avais aucune idée de ce que pouvait vouloir dire ce mot...

Épinglé
Ce mot figure en "tête de gondole" dans la plupart des sous-forums
Et en arrivant dans celui consacré aux Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries, on découvre  écrit par Fred : Épinglée : Fermée : Comment donner la réponse à une énigme rit en laissant le suspense ?.

Que tout le monde le sache : Bibmath est doté d'une fonction de Recherche
- en l'utilisant avec  l'expression  texte caché, voilà notamment ce qu'on obtient en 3e réponse :
Comment faire des fenêtres masquées par Bernard-math : https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=16209 ^_^

Je viens de couper pas mal de bois, je fatigue...
Je verrai demain ce que j'ai déjà raconté sur ce forum pour les images... Au pire, je rédigerai un épinglé qui figurerait dans chaque sous-forum...
@+

---

Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Imod

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Re : Cercles tangents

Bonjour Yoshi

Je n'avais absolument pas l'intention de te donner du travail supplémentaire au contraire , j'évoquais simplement ma difficulté d'adaptation au site . Je pense que mes problèmes sont partagés par d'autres nouveaux participants .

Je suis désolé que mon intervention ait pu être mal prise .

PS : je ne fais pas de distinction entre administrateur et modérateur , ce sont ceux qui peuvent modifier ou corriger nos messages .

Imod

yoshi

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Re : Cercles tangents

Salut,

Imod, non je n'ai pas mal pris ton intervention : tu t'es toujours exprimé de façon irréprochable !
En l'occurrence, tu as mis le doigt sur un manque réel.
Donc, dans la mesure de mes moyens, je vais,avec plaisir tenter de le combler...

@+

---

Arx Tarpeia Capitoli proxima...

cailloux

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Re : Cercles tangents

Bonjour,
J'arrive après la bataille mais tant pis ...

▼Texte caché

Une figure :

Les cercles tangents en $T$ de centres $O$ et $O'$ sont homologues dans une homothétie (négative) de centre $T$ :
$\dfrac{TC}{TA}=\dfrac{r'}{r}=\dfrac{3}{2}$
$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AT}=\dfrac{AT+TC}{AT}=1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}$
Autrement dit le cercle de diamètre $[AB]$ est l'image du cercle de centre $O$ par l'homothétie de centre $A$ et de rapport $\dfrac{5}{2}$
Une remarque : que le cercle de diamètre 3 soit tangent ou pas à $(AD)$ ne change rien à l'affaire. Juste pour embrouiller le client ?
[Edit] une nouvelle image pour illustrer la remarque et suggérer le résultat :

Dernière modification par cailloux (11-12-2025 08:54:00)

cailloux

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Re : Cercles tangents

Bonjour à tous,
J'ai longuement hésité : ouvrir un nouveau fil ou non ? Finalement je poste ici avec un problème qui semble présenter quelques similitudes avec celui de Fred.
Examinez attentivement cette figure :

Les demi disques colorés sont tangents en $T$, tangents en $T_1$ et $T_2$ à la droite $(AB)$.
Les extrémités de leurs diamètres sont situées sur le demi cercle de diamètre $[AB]$.
Les diamètres des demi disques colorés $d_1$ et $d_2$ sont donnés. (pour fixer les choses, $d_1=3$ et $d_2=4$ sont les valeurs utilisées sur la figure).
Dans ce forum du "coin des beaux problèmes de géométrie", on demande de construire (règle et compas) :
- Les demi disques colorés (autrement dit leurs diamètres)
- Le demi cercle de diamètre $[AB]$ (autrement dit son centre).
Commentaires :
On peut commencer par construire les cercles de diamètres (ou rayons) donnés tangents extérieurement et tangents à une droite donnée.
Je pense que l'ami Imod connaît parfaitement la question. Dans un premier temps, peut-être pourra-t-il se contenter d'observer ? (sans obligation bien sûr !)
La construction permet d'obtenir par calculs le centre $O$ et le diamètre $[AB]$;  ça n'a qu'un intérêt très limité : construction (règle et compas) suffit.
P.S. Si Fred ou yoshi considèrent qu'il aurait mieux valu ouvrir un nouveau fil, qu'ils le signalent : j'effacerai immédiatement ce message.

Dernière modification par cailloux (13-12-2025 16:00:33)

Imod

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Re : Cercles tangents

Bonjour Cailloux et les autres :)

La construction du sangaku que tu évoques est en effet assez simple .

▼image

J’ai noté $O_1$ et $O_2$ les centres des deux demi disques et $a$ et  $b$ leurs rayons . J’ai l’intuition que le point $O$ est à l’intersection de la perpendiculaire au segment $[O_1O_2]$ passant par le point $T’$ de ce segment à une distance $a$ de $O_2$ avec la droite $(T_1T_2)$ . Je n'ai pas encore regardé pour les diamètres , à suivre donc …
Imod

Dernière modification par Imod (14-12-2025 12:24:56)

cailloux

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Re : Cercles tangents

Bonjour Imod,

▼Texte caché

Ton intuition est excellente ! Elle mérite une petite justification ...
Pour la suite, une fois qu'on a le centre $O$, la détermination des diamètres n'est plus qu'une formalité.

:)

Rescassol

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Re : Cercles tangents

Bonjour,

Peut on joindre un fichier Géogébra (et non une image) ? Si oui, comment faire ?

Cordialement,
Rescassol

cailloux

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Re : Cercles tangents

Bonjour Rescassol,
Je ne l'ai jamais fait mais j'ai une solution alternative (qui ne te plaira peut-être pas) :
Dans GeoGebra, on utilise la première commande de l'onglet "Exporter" soit "Activité en page web (html)"
On est propulsé vers GeoGebra Tube (il est possible qu'il faille ouvrir un compte) où on peut renseigner son dessin (titre, commentaires ...)
Une fois sauvegardé là bas avec l'option "Publique", on peut récupérer un lien que l'on poste ici même.
Un exemple dans ce fil Viviani (voir le message 26)
Amicalement.

Dernière modification par cailloux (14-12-2025 16:06:45)