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ccapucine

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Limite d'une suite au sens des distributions

Bonjour,
je souhaite calculer la limite au sens des distributions de la suite de distributions $$T_n=n(\delta_{1/n}-\delta_{-1/n})$$
où $\delta_{1/n}$ représente Dirac au point $1/n$ et $\delta_{-1/n}$ représente Dirac au point $-1/n$.
Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$. On a
$$
\langle T_n,\varphi \rangle = n[\varphi(1/n)-\varphi(-1/n)].
$$
Si on écrit le développement de Taylor d'ordre 1 de $\varphi(1/n)$ au voisinage de 0, on aura:
$$
\varphi(1/n)= \varphi(0) +\dfrac{1}{n} \varphi'(\xi_n), \ \xi_n \in (0,1/n).
$$
Le développement de Taylor d'ordre 1 de $\varphi(-1/n)$ au voisinage de 0 nous donne:
$$
\varphi'(-1/n)= \varphi(0) -\dfrac{1}{n} \varphi'(\xi_{-n}), \ \xi_{-n} \in (-1/n,0).
$$
Donc,
$$
\langle T_n,\varphi\rangle= 2 \varphi(0) + (\varphi'(\xi_n)-\varphi'(\xi_{-n})).
$$
Lorsque $n$ tend vers $+\infty$, est-ce qu'on peut dire que $\varphi'(\xi_n)$ tend vers $\varphi'(0)$ et $\varphi'(\xi_{-n})$ tend vers $\varphi'(0)$ et par conséquent, $\lim_{n \to +\infty}(\varphi'(\xi_n)-\varphi'(\xi_{-n})=0$?
Merci d'avance pour votre aide.

Dernière modification par ccapucine (22-11-2025 21:03:34)

Fred

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Re : Limite d'une suite au sens des distributions

Bonjour,
je souhaite calculer la limite au sens des distributions de la suite de distributions $$T_n=n(\delta_{1/n}-\delta_{-1/n})$$
où $\delta_{1/n}$ représente Dirac au point $1/n$ et $\delta_{-1/n}$ représente Dirac au point $-1/n$.
Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$. On a
$$
\langle T_n,\varphi \rangle = n[\varphi(1/n)-\varphi(-1/n)].
$$
Si on écrit le développement de Taylor d'ordre 1 de $\varphi(1/n)$ au voisinage de 0, on aura:
$$
\varphi(1/n)= \varphi(0) +\dfrac{1}{n} \varphi'(\xi_n), \ \xi_n \in (0,1/n).
$$
Le développement de Taylor d'ordre 1 de $\varphi(-1/n)$ au voisinage de 0 nous donne:
$$
\varphi'(-1/n)= \varphi(0) -\dfrac{1}{n} \varphi'(\xi_{-n}), \ \xi_{-n} \in (-1/n,0).
$$
Donc,
$$
\langle T_n,\varphi\rangle= 2 \varphi(0) + (\varphi'(\xi_n)-\varphi'(\xi_{-n})).
$$

Je pense qu'il y a une erreur ici.

F.

ccapucine

Membre

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Re : Limite d'une suite au sens des distributions

Oui en fait il y a une erreur de signe. On trouve
$$
\langle T_n,\varphi \rangle =\varphi'(\xi_n)+\varphi'(\xi_{-n})
$$
où $\xi_n \in (0,1/n)$ et $\xi_{-n} \in (-1/n,0)$.
Est-ce que $\lim_{n \to +\infty} \langle T_n,\varphi\rangle =2 \varphi'(0)$? C'est à dire est-ce que $\xi_n$ et $\xi_{-n}$ sont fixe ou bien ils tendent vers 0 lorsque $n \to +\infty$?
Merci d'avance pour l'aide.

DeGeer

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Re : Limite d'une suite au sens des distributions

Bonjour
Mes cours sur les distributions remontent à loin, mais ne pourrais-tu pas dire que $\frac{\varphi(\frac{1}{n})-\varphi(-\frac{1}{n})}{\frac{2}{n}}=\frac{1}{2}\frac{\varphi(\frac{1}{n})-\varphi(0)}{\frac{1}{n}}+\frac{1}{2}\frac{\varphi(0)-\varphi(-\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}$, puis passer à la limite, et remarquer que le premier membre de l'égalité vaut $\frac{1}{2}n[\varphi(\frac{1}{n})-\varphi(-\frac{1}{n})]$?

Dernière modification par DeGeer (23-11-2025 20:12:30)

Fred

Administrateur

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Messages : 7 330

Re : Limite d'une suite au sens des distributions

Est-ce que $\lim_{n \to +\infty} \langle T_n,\varphi\rangle =2 \varphi'(0)$? C'est à dire est-ce que $\xi_n$ et $\xi_{-n}$ sont fixe ou bien ils tendent vers 0 lorsque $n \to +\infty$?
Merci d'avance pour l'aide.

Bien sûr qu'ils ne sont pas fixes (sinon tu n'aurais pas écrit $\xi_n$, mais $\xi$ tout simplement). Et oui, ils tendent vers $0.$

F.

gebrane

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Inscription : 26-10-2025

Messages : 28

Re : Limite d'une suite au sens des distributions

La façon de DeGeer est plus simple.
Une question intéressante; si on prend $T_n = n^2 (\delta_{1/n} - 2\delta_0 + \delta_{-1/n})$ ?

Dernière modification par gebrane (27-11-2025 22:23:40)