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JCMAtticus

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Limite de [tex]\frac{1}{n\cos (n)}[/tex]

Bonjour
On peut prouver facilement que [tex]\frac{\cos (n)}{n}[/tex] tend vers 0 en l'encadrant...
Mais je n'arrive pas à voir si [tex]\frac{1}{n\cos (n)}[/tex] tend aussi vers 0 ou pas
Pourriez vous me donner une piste ?

Eust_4che

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Re : Limite de [tex]\frac{1}{n\cos (n)}[/tex]

Bonjour,

Si la suite tendrait vers une limite (finie ou non), il en serait de même de la suite $(n \cos(n))$ (pour une limite finie ou non). Ce n'est pas le cas. Donc la suite ne tend vers aucun réel.

E.

JCMAtticus

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Re : Limite de [tex]\frac{1}{n\cos (n)}[/tex]

Je le comprends pour une limite finie non nulle mais pourquoi pas 0 ?
Autrement dit en valeur absolue [tex]ncos n[/tex] tend il vers +infini ?

Glozi

Invité

Re : Limite de [tex]\frac{1}{n\cos (n)}[/tex]

Bonjour,
@Eust_4che on a $\frac{1}{n(-1)^n}$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers l'infini, pourtant $n(-1)^n$ n'admet aucune limite dans $\overline{\mathbb{R}}$.

@JCMAtticus Le problème pour étudier cette suite vient du fait que si $n$ est grand mais très proche de $\pi/2+\pi\mathbb{Z}$ alors $\cos(n)$ peut être très proche de $0$ et donc il n'est pas clair qui de $n$ ou de $\cos(n)$ l'emporte. En fait, le problème revient à comprendre à quel point il est facile de trouver un entier $n$ proche de $\pi/2+\pi\mathbb{Z}$.

Je donne d'abord une piste pour la suite $\frac{1}{n\sin(n)}$ qui est plus simple.
On sait que $\pi$ est irrationel, donc (cf théorème d'approximation diophantienne), il existe deux suites strictement croissantes d'entiers naturels non nuls, $p_n$ et $q_n$ et une constante $C>0$ (il me semble qu'on peut prendre $C=1$) de sorte que
$$|2\pi-\frac{p_n}{q_n}|<\frac{C}{q_n^2}.$$
En multipliant par $q_n$ on trouve
$$|2\pi q_n -p_n| <\frac{C}{q_n}.$$
Ainsi $|\sin(p_n)|=|\sin(p_n-2\pi q_n)|<\frac{C}{q_n}$.
Et donc $|p_n\sin(p_n)|<C\frac{p_n}{q_n}\xrightarrow[n\to\infty]{}2\pi C$.
Ceci montre que $\liminf_{n\to \infty}|\frac{1}{p_n \sin(p_n)}|>0$ et ceci montre que $\frac{1}{n\sin(n)}$ ne peut pas converger vers $0$.

Pourquoi la suite $\frac{1}{n\sin(n)}$ est plus simple à étudier que $\frac{1}{n\cos(n)}$ ?
Car avec le même raisonnement, on veut écrire
$|\cos(p_n)| =|\cos(p_n -\pi/2+\pi/2 -
q_n\pi)| = |\sin(q_n\pi - p_n+\pi/2)|$.
Ainsi on veut que $q_n\pi-p_n+\pi/2$ soit petit, soit $|(2q_n+1)\pi -p_n|$ petit,
On veut donc que $|\pi/2- \frac{p_n}{2q_n+1}|$ soit petit (ie majoré par $\frac{C}{q_n^2}$). On fait donc une demande de parité sur le  dénominateur de l’approximation diophantienne de $\pi/2$. Pour avoir ça je pense qu'une piste est de regarder le développement en fractions continues de $\pi/2$, je te laisse regarder.

Bonne journée

JCMAtticus

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Re : Limite de [tex]\frac{1}{n\cos (n)}[/tex]

Merci beaucoup pour vos réponses, je comprends mieux pourquoi j’ai galéré, cela n’a rien de trivial...

Eust_4che

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Re : Limite de [tex]\frac{1}{n\cos (n)}[/tex]

Oui c'est très vrai. Je me suis arrêté à la continuité de $1/x$ sur $[0, +\infty]$. Je n'ai pas pris en compte les changements de signes :-/

Thk

Invité

Re : Limite de [tex]\frac{1}{n\cos (n)}[/tex]

cette limite n'existe pas

Jean-Marin

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Re : Limite de [tex]\frac{1}{n\cos (n)}[/tex]

Bonjour,
A mon avis vu que [tex]|cos(n)|[/tex] peut s'approcher très près de 0 pour des nombres aussi proches qu'on veut de [tex]\frac{k\pi}{2}[/tex], avec [tex]k\in{\mathbb{Z}}[/tex], alors dans ce cas n étant entier on a que

[tex]a_{n} = \frac{1}{n\cos(n)}[/tex]    n'est pas bornée donc ne peut pas converger

Jean

P.S.  i c'est peut-être faux, c'est juste une idée, une intuition comme ça :)

Thk

Invité

Re : Limite de [tex]\frac{1}{n\cos (n)}[/tex]

C'est l'idée de dire qu'elle est divergente mais non monotone et donc sa limite n'existe pas (on dit qu'elle diverge)
enfin bref vous compliquez les choses trops, si vous renconter des difficultés telles il faut vraiment revoir vos devoir

gebrane

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Re : Limite de [tex]\frac{1}{n\cos (n)}[/tex]

Bonjour, Sauf erreur on peut procéder de la façon suivante:

l'ensemble $\{n - (\frac{\pi}{2} + k\pi) \mid n,k\in\mathbb{N}\}$ est dense dans $\mathbb{R}$.

Conséquence : Pour tout $k\in\mathbb{N}^*$, il existe $n_k\in\mathbb{N}$ tel que :
$$\left|n_k - \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi\right| < \frac{1}{k^2}$$
En divisant par $ \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi$ on deduit que
$$n_k \sim \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi$$

Cherchons un  équivalent de $\cos(n_k)$

Posons $\varepsilon_k = n_k - \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi$. Alors $\varepsilon_k \to 0$ et $|\varepsilon_k| < \frac{1}{k^2}$.

Mais :
$$\cos(n_k) = \cos\left(\left(k + \frac{1}{2}\right)\pi + \varepsilon_k\right) = (-1)^{k+1}\sin(\varepsilon_k)$$ donc la suite en question ne peut tendre vers zéro

Quand $\varepsilon_k \to 0$, $\sin(\varepsilon_k) \sim \varepsilon_k$, donc :
$$|\cos(n_k)| \sim |\varepsilon_k| $$

Finalement
$$|u_{n_k}| \sim \frac{1}{ \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi \cdot |\varepsilon_k|} \, \text {et}\,   |\varepsilon_k| < \frac{1}{k^2}$$, donc :
$$|u_{n_k}|  \xrightarrow[k\to\infty]{} +\infty$$

Glozi

Invité

Re : Limite de [tex]\frac{1}{n\cos (n)}[/tex]

Gebrane, au debut de ton post je ne vois pas comment la densité de l'ensemble te permet de construire un tel $n_k$ ?
Bonne journée

gebrane

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Re : Limite de [tex]\frac{1}{n\cos (n)}[/tex]

Je ne sais plus comme j'ai réfléchis, alors
Je rectifie le tir
Puisque $\pi/2$ est irrationnel, par le théorème de Dirichlet sur l'approximation diophantienne,
il existe des suites d'entiers $(n_k)$ et $(m_k)$   avec $m_k$ impair et $m_k \to +\infty$ tels que :
$$\left|\frac{\pi}{2} - \frac{n_k}{m_k}\right| < \frac{1}{m_k^2}$$
Cette inégalité peut se réécrire sous la forme :
$$\left|n_k - \frac{\pi}{2}m_k\right| < \frac{1}{m_k}$$

En divisant par $\frac{\pi}{2}m_k$, on déduit l'équivalent :
$$n_k \sim \frac{\pi}{2}m_k$$
Posons $\varepsilon_k = n_k - \frac{\pi}{2}m_k$. Alors $\varepsilon_k \to 0$ et $|\varepsilon_k| < \frac{1}{m_k}$.

Comme $m_k$ est impair, on a :
$$|\cos(n_k)| = \left|\cos\left(\frac{\pi}{2}m_k + \varepsilon_k\right)\right| = |\sin(\varepsilon_k)|$$
donc :
$$|\cos(n_k)| \sim |\varepsilon_k|$$
On a :
$$|u_{n_k}| = \frac{1}{n_k|\cos(n_k)|} \sim \frac{1}{\frac{\pi}{2}m_k \cdot |\varepsilon_k|}$$

Avec $|\varepsilon_k| < \frac{1}{m_k}$, on obtient :
$$ \frac{1}{\frac{\pi}{2}m_k \cdot |\varepsilon_k|} > \frac{1}{\frac{\pi}{2}m_k \cdot \frac{1}{m_k}} = \frac{2}{\pi}$$

Par conséquent, à partir d'un certain rang : $|u_{n_k}| > \frac{1}{\pi}$
( si $u_n\sim v_n$ et $v_n>a$ alors $u_n>a/2$ à partir d'un rang)
La suite $u_n$ admet une sous-suite $(u_{n_k})$ qui reste minorée par une constante strictement positive. Par conséquent :
$$\boxed{u_n \text{ ne tend pas vers } 0}$$

Glozi

Invité

Re : Limite de [tex]\frac{1}{n\cos (n)}[/tex]

Ok, finalement cela rejoint la stratégie que j'avais proposée en #4.
Cela dit il reste un détail à régler dans la preuve : comment obtenir le $m_k$ impair ? En effet, il me semble que la preuve classique par le principe des tiroirs du théorème d'approximation diophantienne ne garantit pas une telle chose !
Bonne soirée

gebrane

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Re : Limite de [tex]\frac{1}{n\cos (n)}[/tex]

Ok,  comment obtenir le $m_k$ impair ?

C'est bien connu, tu peux regarder cet article https://projecteuclid.org/journalArticl … 1183502433
J'ai regardé to ébauche de preuve, tu as traité la suite avec le sinus. comment fais-tu avec la suite en cosinus ?

Glozi

Invité

Re : Limite de [tex]\frac{1}{n\cos (n)}[/tex]

Je regarderai le papier que tu mentionnes quand j'aurai un peu plus de temps.

Sinon, il me semblait que ce que j'avais écrit à la fin de #4 était plutôt clair ? Afin d'obtenir des bonnes approximations rationnelles de $\pi/2$ une méthode constructive est de regarder les réduites des fractions continues de $\pi/2$. Notons la $n$-ième réduite $\frac{a_n}{b_n}$ avec $a_n$ et $b_n$ premiers entre eux. On sait que $$\left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{\pi}{2}\right|< \frac{1}{b_n^2}.$$
Par ailleurs, on sait aussi que pour chaque $n$, $b_n$ et $b_{n+1}$ sont premiers entre eux (ce sont des résultats classiques sur les fractions continues, cf https://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue#R%C3%A9duites_d'une_fraction_continue). Du coup il y a une infinité de $b_n$ qui sont impairs et cela permet de conclure.
Bonne soirée

gebrane

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Re : Limite de [tex]\frac{1}{n\cos (n)}[/tex]

Je n'avais pas compris ta phrase On fait donc une demande de parité sur le  dénominateur de l’approximation diophantienne. je n'étais pas certain si tu voulais des dénominateurs pairs ou impairs

Je suis ok avec  puisque $q_k$ et $q_{k-1}$ sont premiers entre eux, ils ne peuvent pas être tous les deux pairs.
Par conséquent, dans la suite des dénominateurs $(q_k)_{k \in \mathbb{N}}$, il est impossible de trouver deux nombres pairs consécutifs
Cela garantit  qu'il existe une infinité d'indices $k$ pour lesquels $q_k$ est impair

gebrane

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Re : Limite de [tex]\frac{1}{n\cos (n)}[/tex]

Bonjour,

Une question intéressante que je me suis posé cette nuit et que je ne sais pas résoudre pour le moment est la limite de la suite 1/(n²cos n)
edit c'est un problème ouvert. La question est liée à la mesurabilité de $\pi$. On sait seulement que $2\le \mu(\pi)\le 7.1032...$

Dernière modification par gebrane (28-11-2025 06:41:21)