Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Jean-Marin

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Rayons de convergence

Bonjour,
J'aimerais avoir une méthode pour calculer le rayon de convergence d'une série entière de forme:

[tex] \sum a_{n}z^{n^2}   [/tex]
Avec le changement de variable ça ne marche pas forcément par exemple:

[tex]\sum n{!}z^{n^2} [/tex]

on ne peut pas poser [tex]N=\sqrt{n}[/tex] car [tex]({\sqrt{n}}){!}[/tex]  n'est pas toujours défini?
Merci pour votre réponse

Fred

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Re : Rayons de convergence

Bonjour,

  Il vaut mieux revenir à la définition, et se demander pour quelles valeurs de $R$ la suite $(n! R^{n^2})$ est bornée (ou la série associée est convergente). On peut répondre à cette question avec la règle de d'Alembert. Ensuite, on sait que le rayon de convergence est la borne supérieure des réels $R$ tels que $(n! R^{n^2})$ soit bornée. Tu peux par exemple consulter cette vidéo.

F.

guiguiche

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Re : Rayons de convergence

Si tes coefficients $a_n$ sont positifs, utilise une comparaison série intégrale (avec la fonction  $t \mapsto z^{t^2} = \exp(-t^2\ln(z))$).

Jean-Marin

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Re : Rayons de convergence

Bonjour,
Merci pour les réponses en fait c'est plus simple que ça il y a pas besoin des séries entières...