Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jujud0range

Membre

Inscription : 17-11-2025

Messages : 2

Familles génératrices

Bonsoir !

J'ai dû mal à comprendre ce que représente concrètement ce que signifie un sous espace vectoriel engendré par un ensemble d'applications. Par exemple, un exercice que nous avons eu à faire est tel que :

- Trouver une base de E=vect((x |--> cos(x+1)), (x |--> cos(x+2)), (x |--> cos(x+3)))

Je vois l'idée des familles pour un ensemble de vecteurs dans l'espace, mais je vois mal ce que représente une famille de fonctions ou de polynômes par exemple donc j'ai du mal à comprendre comment exprimer E comme un ensemble d'applications.

Merci d'avance si quelqu'un peut m'éclairer !
Bonne soirée,
J

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 330

Re : Familles génératrices

Bonjour,

  Un élément de $E$ est une fonction $f$ telle qu'il existe $a,b,c$ vérifiant, pour tout $x\in\mathbb R,$
$$f(x)=a\cos(x+1)+b\cos(x+2)+c\cos(x+3).$$
Autrement dit, $f$ est combinaison linéaire des trois fonctions $x\mapsto \cos(x+1),$ $x\mapsto \cos(x+2)$ et $x\mapsto \cos(x+3).$
Pour déterminer une base de $E,$ il faudrait déjà essayer de savoir si cette famille de 3 fonctions est libre, puisque par définition c'est une famille génératrice de $E.$

F.