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bibmgb

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Suites géométriques, exercice de logique

Bonjour,
Voici un énoncé d'un exercice de logique :
"Un escargot a mis 8 jours pour atteindre le sommet d'un mur de 8 mètres. Sachant que la distance montée chaque jour est le double de celle de la veille, au bout de combien de jours avait-il parcouru la moitié de la hauteur du mur ?"
La réponse attendue est : 7 jours.
Or pour pouvoir donner cette réponse, il faut comprendre que la distance parcourue au terme du jour n est égale au double de la distance parcourue au total lors des n-1 jours précédents.
En effet, dire que l'escargot a parcouru 4 mètres en 7 jours et 8 mètres en 8 jours c'est bien dire que en n jours (et non le jour n) il parcourt le double de la distance parcourue en n-1 jours (et non le jour n-1).
En ce qui me concerne, tel que l'énoncé est rédigé, je comprends plutôt que le jour [tex]n[/tex], l'escargot double la distance parcourue le jour [tex]n-1[/tex], soit [tex]d_n=2d_{n-1}[/tex] et donc [tex]d_n=2^{n-1}d_1[/tex] avec [tex]8=\sum_{k=1}^8 d_k[/tex].
On a alors [tex]8=d_1\dfrac{1-2^8}{1-2}[/tex] soit [tex]d_1=\dfrac{8}{2^8-1}[/tex].
Si on cherche au bout de combien de jours il atteint 4 mètres, on résout [tex]4=\sum_{k=1}^p d_k[/tex] d'inconnue [tex]p[/tex].
Je passe les détails des calculs, on obtient [tex]p\approx 7,0056...[/tex] Donc on trouve environ 7 jours.
Il est évident que ce n'est pas cette solution qui est attendue mais pourtant c'est comme cela que je comprends l'énoncé.
Que pensez-vous de cet énoncé, est-ce clair pour vous ? Ou au contraire, vous trouvez que plusieurs interprétations sont possibles ?
Merci.

Black Jack

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Re : Suites géométriques, exercice de logique

Bonjour,

"Or pour pouvoir donner cette réponse, il faut comprendre que la distance parcourue au terme du jour n est égale au double de la distance parcourue au total lors des n-1 jours précédents."

Ben non :

En respectant l'énoncé.

Si je calcule la distance parcourue le 1er jour, je trouve 0,031272... m (arrondi)

1er jour : monte de 0,031272 m et donc hauteur atteinte = 0,031272 m
2eme jour : monte de 2 * 0,031272 = 0,062744 m et donc hauteur atteinte = 0,0031272 + 0,062744 = 0,094116 m
3eme jour : monte de 2 * 0,062744 = 0,125488 m et donc hauteur atteinte = 0,094116 + 0,125488 = 0,219604 m
4eme jour : monte de 2 * 0,125488 = 0,250976 m et donc hauteur atteinte = 0,219604 + 0,250976 = 0,47058 m
5eme jour : monte de 2 * 0,250976 = 0,501952 m et donc hauteur atteinte = 0,47058 + 0,501952 = 0,972532 m
6eme jour : monte de 2 * 0,501952 = 1,003904 m et donc hauteur atteinte = 0,972532 + 1,003904 = 1,976436 m
7eme jour : monte de 2 * 1,003904 = 2,007808 m et donc hauteur atteinte = 1,976436 + 2,007808 = 3,981244 m
8eme jour 2 monte de 2 * 2,007808 = 4,015616 m et donc hauteur atteinte = 3,981244 + 4,015616 = 7,99986 m

On a donc bien 8 m atteints  (à rien près, à cause de l'arrondi dans les calculs) le 8ème jour ...

Et on a bien 4 m (à rien près) atteint à la fin du 7ème jour.

Michel Coste

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Re : Suites géométriques, exercice de logique

Bonjour,
Non, le "à rien près" n'est pas à cause de l'arrondi dans les calculs, mais à cause du défaut d'énoncé que bibmgb a bien relevé. Sans intervention d'arrondi,  $\dfrac{127}{255}$ n'est pas loin de $\dfrac12$, mais ce n'est pas $\dfrac12$, c'est bien strictement plus petit.

Black Jack

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Re : Suites géométriques, exercice de logique

Bonjour,
Non, le "à rien près" n'est pas à cause de l'arrondi dans les calculs, mais à cause du défaut d'énoncé que bibmgb a bien relevé. Sans intervention d'arrondi,  $\dfrac{127}{255}$ n'est pas loin de $\dfrac12$, mais ce n'est pas $\dfrac12$, c'est bien strictement plus petit.

Bonjour,

Tu déformes mes propos.

J'ai écrit :

On a donc bien 8 m atteints  (à rien près, à cause de l'arrondi dans les calculs) le 8ème jour ...

Et c'est tout à fait exact, l'approximation ici provient de la valeur tronquée de 0,031272... m (arrondi) que j'ai donnée pour le 1er jour.

Et j'ai encore dit que : "Et on a bien 4 m (à rien près) atteint à la fin du 7ème jour." ...

Là, j'ai bien pris garde de ne pas attribuer le "à rien près" à  l'arrondi des calculs.

Et si on veut modifier l'énoncé, pour être plus carré, on peut le faire soit comme bibmgb ... et le problème n'a plus rien à voir avec l'originel, ou bien ajouter un seul mot et permettre une petite "tolérance" sur la valeur 4 à atteindre.

Pour répondre à sa question :
"Que pensez-vous de cet énoncé, est-ce clair pour vous ? Ou au contraire, vous trouvez que plusieurs interprétations sont possibles ?"

C'est incontestablement qu'il n'y a pas plusieurs interprétations possibles.
La phrase "Sachant que la distance montée chaque jour est le double de celle de la veille" est sans ambiguïté  et n'est pas respectée dans l'énoncé modifié.
On peut juste reprocher à l'énoncé de ne pas avoir assorti la valeur de 4 à atteindre d'une tolérance...

Mais certainement pas de modifier complètement le sens de l'énoncé.

A chacun son avis.

Black Jack

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Re : Suites géométriques, exercice de logique

Rebonjour,

Je refais le problème ... conformément à l'énoncé originel et sans arrondi de calculs.

Le premier jour, l'escargot monte de 8/255 m
Le 2èmer jour, l'escargot monte de 8/255 * 2 = 16/255 m
...
Le 8ème jour l'escargot monte de 1024/255 m ... et atteint alors exactement une hauteur de 8 m

Le 7éme jour, la hauteur atteinte par l'escargot est de 1016/255 m
Il lui manque donc 4 - 1016/255 = 4/255 m pour atteindre 4 m

Si (supposition gratuite), l'escargot avance à vitesse constante pendant chaque jour complet ...
Sa vitesse en court du 8ème jour est 1024/255 m /jour
Il lui faudra (en plus des 7 jours), une durée de (4/255)/((1024/255) = 1/256 jour pour atteindre 4 m

Donc (à partir de cette hypothèse discutable), l'escargot atteint 4 m après 7 jours et 1/256 jour (soit 7,00390... jour)
Soit donc 7 jours ... "à rien près" (et sans modifier le sens de l'énoncé).

bibmgb

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Re : Suites géométriques, exercice de logique

La réponse attendue est 7 jours et non 7 jours et 1/256 jour.

Black Jack

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Re : Suites géométriques, exercice de logique

La réponse attendue est 7 jours et non 7 jours et 1/256 jour.

Et alors ?

L'énoncé ne précise pas la réponse attendue.

Cet ajout de la réponse attendue émane donc d'une personne différente de l'auteur, elle est de plus donnée brute de décoffrage et rien ne dit que, pour celui qui l'a donnée, cela signifie "exactement 7 jours", cela peut tout aussi bien être "presque 7 jours"

De toutes manières, la phrase "Sachant que la distance montée chaque jour est le double de celle de la veille" est sans ambiguïté et ne peut pas être modifiée pour lui donner un sens tout à fait différent.

Si tu penses que "la réponse attendue est 7" (qui d'ailleurs n'est pas dans l'énoncé) est plus importante que la contrainte précisée dans l'énoncé par ""Sachant que la distance montée chaque jour est le double de celle de la veille" alors je te propose une autre modification de l'énoncé :  "Combien faut-il ajouter à 1 pour avoir 8 ?", tu auras ainsi 7 comme réponse et tout le monde devrait être content.
Ce n'est pas plus "anormal" ainsi que ce que tu proposes, soit modifier complètement le sens de l'énoncé.

Chacun pense évidemment ce qu'il veut.
Toi tu préfères répondre à une question différente de cette imposée par l'énoncé ... et moi pas.

Bonne journée.

Dernière modification par Black Jack (19-11-2025 15:42:34)