Forum de mathématiques - Bibm@th.net

usermath1323

Membre

Inscription : 12-11-2025

Messages : 1

Combinatoires

Bonjour,

Combien de couples d'ensembles d'entiers naturels (A;B) on peut créer tel que A+B={0 ; 1 ; 2 ; 3; ... ; n} ?

Merci

Dernière modification par yoshi (13-11-2025 09:37:59)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 887

Re : Combinatoires

Bonjour ,

Il ne manque pas quelque chose ?

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 797

Re : Combinatoires

Bonjour,

Je ne sais pas s'il manque quelque chose mais ce quoi est certain c'est qu'on ne peut jamais avoir une égalité entre un entier $A+B$ et un ensemble à $n+1$ éléments $\{0;1;...;n\}$.

Si la question est "Combien de couples d'ensembles d'entiers naturels $(A;B)$ on peut créer tel que $A+B \in \{0 ;1 ;2; 3; ... ;n\}$ ?" c'est peut être mieux ?

En tout cas, avant de répondre à usermath1323, j'aimerai savoir ce qu'il a essayé, et pourquoi il n'a pas conclu ?

Premières questions intermédiaires :

1/ Combien de couples d'ensembles d'entiers naturels $(A;B)$ on peut créer tel que $A+B=0$ ?

2/ Combien de couples d'ensembles d'entiers naturels $(A;B)$ on peut créer tel que $A+B =1$ ?

3/ Combien de couples d'ensembles d'entiers naturels $(A;B)$ on peut créer tel que $A+B = 2$ ?

4/ Combien de couples d'ensembles d'entiers naturels $(A;B)$ on peut créer tel que $A+B = k$ ?

Roro.

Dernière modification par Roro (13-11-2025 07:38:29)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 887

Re : Combinatoires

Bonjour,

Il manquait un minimum de politesse.
Pour le reste c'était compréhensible.

Il peut aussi considérer un quadrillage et  un demi-carré
délimité par une diagonale, s'il souhaite utiliser une image géométrique.
On tombe sur les nombres triangulaires sauf erreur.

L' image valait d'ailleurs aussi  si on s'intéresse aux triplets dont la somme est majorée par n: les candidats sont logés dans un "coin" ( demi-cube) : nombres pyramidaux ?

Dernière modification par bridgslam (13-11-2025 09:07:09)

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 887

Re : Combinatoires

Bonjour,

J'ai considéré d'emblée qu'il y avait une erreur d'énoncé, et qu'il recherchait des couples d'entiers et non des  couples d'ensembles d'entiers.
Si par-contre il recherchait bien le cardinal de l'ensemble des couples de parties dont la somme est [0,n], ce n'est pas trivial selon moi.

Par exemple pour n=8 et en cherchant (A B) avec max A =3 et max B = 5 par exemple, on obtient:

( {0,1,3} , {0,[1|2],4,5}) et on peut intercaler ad libitum à l'un et/ou à l'autre sans rien changer à la somme

({0,2,3},{0,1, [3|4], 5}) , on peut intercaler...

({0,3}, {0,1,2,3,4,5)) , on peut intercaler dans A.

Après tous les  intercalages, on élimine les redites...
Par symétrie on aura les (A B) où max A = 5 et max B =3.

Remarques:
0 est toujours commun à A et B
1 appartient au moins à A ou à B.
L'un au moins des ensembles a ses deux plus grands éléments consécutifs .
Je n'ai pas de formule générale en fonction de n pour le cardinal.

Dernière modification par bridgslam (15-11-2025 17:59:22)

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."