Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Borassus

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En dehors du dénominateur commun, à quoi sert le PPCM ?

Bonjour à toutes et à tous,

Le PPCM est très utile pour déterminer le dénominateur commun de plusieurs fractions.

Existe-t-il d'autres utilisations concrètes ?

Merci de vos réponses.
B.

Dernière modification par Borassus (12-11-2025 18:25:38)

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

DeGeer

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Re : En dehors du dénominateur commun, à quoi sert le PPCM ?

Bonjour
Deux ampoules clignotent. L'une s'allume toutes les 153 secondes, l'autre toutes les 187 secondes. A minuit, elles s'allument ensemble. Quand s'allumeront-elles à nouveau ensemble?
Problème trouvé sur EduScol, rubrique exemples de réussite en 3ème si ma mémoire est bonne.

Borassus

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Re : En dehors du dénominateur commun, à quoi sert le PPCM ?

Bonsoir De Geer,

Merci de cette première piste.
Les lampes s'aallumeront de nouveau simultanément à 00 h 28 min et 3s.
La période de simultanéité est donc de 28 minutes et 3 secondes.

Il faut donc 11 cycles de la première ampoule et 9 cycles de la seconde.

Exercice à appliquer la nuit en Bretagne au bord de la mer en repérant les phares en activité.  :-)

Dernière modification par Borassus (12-11-2025 20:21:35)

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OscarTheGrumpyGrouch

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Re : En dehors du dénominateur commun, à quoi sert le PPCM ?

Bonjour

Voici une identité curieuse faisant intervenir le PPCM et la fonction zêta.
\[\forall s > 1, \qquad \sum_{m, n \geq 1} \frac{1}{\text{lcm}(m,n)^s} = \frac{\zeta(s)^3}{\zeta(2s)} \]
On peut le démontrer en exploitant le produit d’Euler. Dans le cas où $s=2$, on a
\[\sum_{m,n \ge 1} \frac{1}{\text{lcm}(m,n)^2} = \frac{5 \pi^2}{12}\]

Cordialement

yoshi

Modo Ferox

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Re : En dehors du dénominateur commun, à quoi sert le PPCM ?

Ave Borassus,

Voilà qq exos utilisant PPCM ou PGCD trouvés sur le net.
J'avais cherché dans mes vieux Lebossé & Emery de 5e persuadé qu'ils y figuraient. Raté !
Il faut que je remette la main sur les autre niveaux : je me souviens de les avoir utilisé à mes débuts de prof...

Exercice 1
Deux voitures partent en même temps de la ligne de départ un lundi à 14h et font
plusieurs tours d'un même circuit. La voiture A fait le tour du circuit en 36 minutes et la
voiture B en 30 minutes. Les deux voitures roulent pendant 24 h. Trouver à quels
moments les deux voitures se trouvent ensemble sur la ligne de départ et indiquer pour
chacun de ces moments le nombre de tours parcourus par chacune des voitures depuis le
départ.

Exercice 2
a est un entier naturel inférieur à 150.
Quand on effectue la division euclidienne de a par 12, le reste est égal à 1.
Quand on effectue la division euclidienne de a par 9, le reste est égal à 1.
Quelles sont toutes les valeurs possibles pour a.

Exercice 3
1. On veut carreler le sol d'une cuisine rectangulaire de longueur 4,55 m et de largeur 3,85 m en utilisant un nombre entier de dalles carrées
     identiques dont les longueurs des côtés sont égales à un nombre entier de centimètres.
    a) Quel est le nombre maximum de dalles possibles ?
    b) Quelle est la plus grande dalle qu'on peut utiliser ?
    Combien utilise-t-on alors de dalles ?
2. On dispose de dalles de longueur 24 cm et de largeur 15 cm. Quelles surfaces carrées dont les longueurs des côtés sont égales à un
     nombre entier de centimètres peut-on carreler si on se limite aux surfaces carrées ayant une aire inférieure ou égale à 36 m2 ?

Exercice 4
Un fleuriste a 135 roses blanches, 120 roses rouges et 90 roses jaunes. Il veut préparer le plus grand nombre de bouquets ayant la même composition (mêmes nombres de roses de chaque sorte).
Quelle composition doit-il choisir pour ses bouquets ?

@+

[EDIT] J'ai retrouvé la référence (pas le bouquin)
Manuel de Mathématiques Lebossé & Emery 1958 Classe de 4e (en principe chapitre 2 - Nombres premiers)

Dernière modification par yoshi (13-11-2025 11:34:19)

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Borassus

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Re : En dehors du dénominateur commun, à quoi sert le PPCM ?

Ave Yoshissimus !

Merci pour ces exos que je ne manquerai pas de résoudre, mais pas cet après-midi ni ce soir. (L'exercice 4 relève manifestement du PGCD.)

L'exercice proposé par DeGeer et l'exercice 1 montrent que le PPCM est notamment utile pour synchroniser des périodes différentes.

PS : Pourquoi avoir déplacé cette discussion alors qu'elle concerne bien davantage le Collège que le Supérieur, malgré l'intervention (semble-t-il très pointue) d'Oscar ?

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

Zebulor

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Re : En dehors du dénominateur commun, à quoi sert le PPCM ?

Bonsoir,
Mon père avait comme prof de maths Monsieur Couedic, un breton. Il était surnommé par ses élèves PPCM : Petit Père Couedic Matheux.

Bonne nuit :-)

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.