Forum de mathématiques - Bibm@th.net

gebrane

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Equation $x^2 + y^2 = 3(z^2 + u^2).$

Bonjour;
Une jolie question!

Montrer qu' Il n’existe aucun quadruplet d’entiers naturels  $(x, y, z, u)$ satisfaisant
$$x^2 + y^2 = 3(z^2 + u^2).$$

Roro

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Re : Equation $x^2 + y^2 = 3(z^2 + u^2).$

Bonsoir,

Ne peut-on pas s'en sortir juste en distinguant les quelques cas selon la parité de $x$, $y$, $z$ et $u$ ?

Roro.

Rescassol

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Re : Equation $x^2 + y^2 = 3(z^2 + u^2).$

Bonsoir,

On sait qu'un entier peut s'exprimer comme somme de deux carrés si et seulement si ses facteurs premiers de la forme $4n+3$ sont de valuation paire. Ça devrait suffire.

Cordialement,
Rescassol

bridgslam

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Re : Equation $x^2 + y^2 = 3(z^2 + u^2).$

Bonjour,

Un carré ne pouvant être visiblement égal à 2 modulo 3,
et comme 3 divise la somme de carrés de gauche
on voit aussitôt que x et y doivent être multiples de 3.
Donc si x ou y était non nul, u ou v serait non nul, et en divisant par 3, on obtientrait une expression similaire satisfaite aussi  par des entiers non nuls str. inférieurs x' ,y' respectivement  à x ou y.
Donc en réitérant indéfiniment cette idée on aurait une infinité d'entiers naturels inférieurs à l'un ou l'autre des quatre entiers de l'égalité initiale... ( on bascule entre les x,y et u,v perpétuellement).
Contradiction.
Ainsi le quadruplet (0,0,0,0) est le seul solution.

Remarque: en décomposant par étapes de calcul, si par exemple x et u sont non nuls, on aurait les suites:

x , x/3, x/3, x/3/3, x/3/3, x/3/3/3, ....
u, u, u/3, u/3, u/3/3, u/3/3, ...

Chaque suite est constante une fois sur deux alternativement , mais la décroissance stricte une fois sur deux de chacune implique une absurdité d'hypothèse. Double absurdité si je puis dire, car ces suites sont distinctes!
Alain

Dernière modification par bridgslam (03-11-2025 09:37:27)

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Reouven

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Re : Equation $x^2 + y^2 = 3(z^2 + u^2).$

S'il existe un tel quadruplet (\(h1\)), alors \(x^2 + y^2\) serait divisible par \(3\).

Et donc \(x\) et \(y\) seraient aussi congrus à \(0\) modulo \(3\).
En posant, \(x=3k,\ y=3m\), de (h1) on obtient :
\(x^2+y^2=3\ (u^2+z^2)=9\ (k^2 + m^2)\)
D'où \(u^2+z^2=3\ (k^2 + m^2)\)

En appliquant le même raisonnement, on aurait \(u\) et \(z\) divisibles aussi par \(3\), et \(x^2+y^2=3^2\ (k^2+ m^2)\) et en appliquant le même raisonnement sur \(u,\ z,\ k,\ m\), on aurait \(\exists\ i,\ j\) entiers naturels tels que \(k^2+m^2=3\ (i^2+j^2)\) et donc \(u^2+z^2=3^2\ (i^2 + j^2)\) et \(x^2+y^2=3^3\ (i^2 + j^2)\) et ainsi de suite...
On aurait ainsi \(\forall n \ge 1,\ \exists\ i_n,\ j_n\) entiers naturels tels que \(x^2+y^2=3^n\ ({i_n}^2 + {j_n}^2)\).

Ce qui est absurde, sauf si \(\exists N\) tel que \(\forall n \ge N,\ i_n=j_n=0\), soit \(x=y=0\), et en revenant à (\(h1\)) : \(u=z=0\).

Donc, en conclusion, la seule solution est \(x=y=u=z=0\).

PS : c'est, je pense, le même principe que dans la démonstration du message précédent.

Dernière modification par Reouven (03-11-2025 11:33:26)

bridgslam

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Messages : 1 874

Re : Equation $x^2 + y^2 = 3(z^2 + u^2).$

Bonjour,

Fac similé effectivement.

A.

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Reouven

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Re : Equation $x^2 + y^2 = 3(z^2 + u^2).$

Ça y est, je me suis rendu coupable...

Dernière modification par Reouven (03-11-2025 10:34:50)

bridgslam

Membre Expert

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Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 874

Re : Equation $x^2 + y^2 = 3(z^2 + u^2).$

Entre tes découvertes absolument "géniales"  ( nouvelle construction des complexes pour les terminales, totalement incohérente et notations inutiles et absconses) , tes plagiats, et autres propos déplacés, les gens de bonne foi sur ce forum en sont hélas réduits à  3 chances ( ou plutôt malchances ) sur 3.
Événement certain: perdre leur temps avec tes écrits/trouvailles plus que douteux et remarques tordues.

Pas un choix fabuleux donc, tu en conviendras!

PS: bravo aussi pour le courage dans tes messages modifiés, à ton habitude, pour tenter d' en émousser le venin au fil des posts.  Ça n'arrange pas ton cas!

Dernière modification par bridgslam (03-11-2025 10:47:45)

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Reouven

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Re : Equation $x^2 + y^2 = 3(z^2 + u^2).$

J'espère que ça t'a fait du bien de te défouler.

Dernière modification par Reouven (03-11-2025 10:50:12)

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 367

Re : Equation $x^2 + y^2 = 3(z^2 + u^2).$

Bonjour,

Stop  aux modifications inopportunes - à retardement  - et aux provocations gratuites : cela ne va pas dans le sens souhaité par nos Règles de fonctionnement :

L'objectif de BibM@th est de créer un lieu d'échange, d'entraide, d'information ouvert à tous. Les utilisateurs sont invités à faire de ce forum un moyen de communication convivial, ouvert.

Sinon, j'emprunterai les ciseaux d'Anastasie et si ce n'était pas suffisant, j'ouvrirais la porte en grand !

      Yoshi
- Modérateur -

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Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Reouven

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Re : Equation $x^2 + y^2 = 3(z^2 + u^2).$

Pas de souci, c'est noté (même si dans tous les cas, de telles modifications, n'ont jamais eu que pour unique but de répondre à l'exercice posé).

Dernière modification par Reouven (03-11-2025 11:44:05)

gebrane

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Re : Equation $x^2 + y^2 = 3(z^2 + u^2).$

Bonjour; j'ai laissé une peu de temps avant de proposer une solution mais Bravo à tous
Je propose ceci :
Supposons qu’il existe un tel quadruplet d'entiers naturels non tous  nuls
Choisissons la solution pour laquelle la quantité $x^2 + y^2$ est la plus petite possible.
Soit $(a, b, c, d)$ cette solution choisie. Alors :

$$a^2 + b^2 = 3(c^2 + d^2) \Rightarrow 3 \mid (a^2 + b^2) \Rightarrow 3 \mid a \text{ et } 3 \mid b.$$

Ainsi, on peut écrire $a = 3a_1$ et $b = 3b_1$.

En remplaçant, on obtient :
$$a^2 + b^2 = 9(a_1^2 + b_1^2) = 3(c^2 + d^2) \Rightarrow c^2 + d^2 = 3(a_1^2 + b_1^2).$$

On a donc trouvé une nouvelle solution $(c, d, a_1, b_1)$ telle que
$$c^2 + d^2 < a^2 + b^2,$$
ce qui contredit le choix initial de la solution minimisant $x^2 + y^2$.