Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Doaezy

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Messages : 1

Propriété du Roi utile ?

Bonjour, en me baladant sur tweeter je suis tomber sur une integrale tomber à l'oral de X , beaucoup de gens disaient que c'était simple avec la propriété du roi et faisable dès la sup. On a déja vu les changement de varaible ect mais on pas parler de cette propriété. Savez vous si c'est souvent aborder plus tard dans l'année ou si je devrai le voir tout seul.

Je suis en MPSI

Merci d'avance

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 793

Re : Propriété du Roi utile ?

Bonjour,

De mon coté, je n'ai jamais entendu parlé de cette "propriété du roi" !

En regardant sur le web, je m'aperçois qu'il s'agit simplement d'un changement de variable affine...  En tout cas, ça ne me semble pas pertinent d'en faire une "propriété" particulière, et si vous avez déjà vu le chapitre sur l'intégration avec les changements de variables, ça ne sera pas revu par la suite.

Si tu nous donnes l'intégrale dont tu parles au début, on pourra te dire si c'est calculable relativement facilement avec les outils que tu as, mais en pratique le calcul d'intégrale (sur un intervalle borné) est complètement vu en Sup. En Spé, on se concentre sur d'autres questions comme l'intégration sur des intervalles non bornées, ou sur des intégrales à paramètres, etc.

Roro.

Dernière modification par Roro (01-11-2025 15:49:19)

Black Jack

Membre

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Messages : 503

Re : Propriété du Roi utile ?

Bonjour,

La "propriété du roi" est présentée sur cette vidéo :

https://www.youtube.com/watch?v=Ai7e6BrOrdQ

djib136

Invité

Re : Propriété du Roi utile ?

slt, Salut,

surement le ln 1+tan(x) entre 0 et pi/4. Le gars qui dit que c "vrmt" c'est vraiment"   facile dès la Sup je suis d'accord à condition qu'on te donne le changement de variable pi/4 - x mais bon si c'est pas donné faut y penser quoi...
La propriété du roi te permet d'accéder à ce changement de variable sans avoir eu la lumière. Ce n'est pas une technique usuelle mais très pratique dans les intégrales avec de la trigo, je te conseille d'aller voir en quoi elle consiste sur youtube.

Dernière modification par yoshi (03-11-2025 18:18:12)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 330

Re : Propriété du Roi utile ?

Bonjour,
 
  J'ai été intrigué par ce nom car comme Roro, je ne la connaissais pas. Il semble en fait que ce soit juste la propriété suivante : pour $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue, on a $\int_a^b f(t)dt=\int_a^b f(a+b-t)dt$ (ce qui est juste un changement de variables affine comme le mentionne Roro).
C'est une propriété utile pour calculer certaines intégrales trigonométriques astucieuses, en utilisant par exemple des formules du type $\sin(\pi/2-x)=\cos(x) ...$ et en calculant deux fois cette intégrale. Un exemple classique est
$$I_n=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{dx}{1+\tan^n(x)}.$$
En utilisant la propriété du roi, et la formule $\tan(\pi/2-x)=1/\tan(x),$ on a
$$I_n=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{(\tan^n x)}{1+\tan^n x}dx$$
et donc
$$2I_n=\int_{\pi/6}^{\pi/3}dx = \frac{\pi}3-\frac{\pi}6.$$
Ceci donne bien sûr $I_n=\frac{\pi}{12}.$

C'est tout à fait le genre d'exos que je déteste : si on connait l'astuce, c'est très facile. Si on ne connait pas l'astuce, c'est infaisable.
Et cela ne teste pas la compréhension mathématique des étudiants. Cela teste juste s'ils ont assez de mémoire pour accumuler un grand nombre d'astuces à restituer. Peu d'intérêt pour une future carrière de chercheur si c'est un oral de l'ENS ...

Pour conclure sur le nom, je crois que c'est normal que ni Roro ni moi ne le connaissions. J'ai un peu fouillé, et il semble qu'il est apparu pour la première fois dans une vidéo sur YouTube en novembre 2022.

Fred.