Forum de mathématiques - Bibm@th.net

plem06

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Non, la racine carrée d'un réel réel positif n'est pas un réel positif

Bonjour à tous,

...Bon, avec un titre provocateur comme ça, j'espère ramener un peu de monde dans la discussion  :-)

J'ai un problème avec la racine carrée, ou plus exactement la définition qu'on en donne dès le collège. Sur ce site  (fantastique, au passage), comme dans beaucoup de manuels de collège, on lit  : "Définition : Soit a un nombre réel positif. La racine carrée de a est l'unique nombre réel positif dont le carré est égal à a. On le note √a."

Ca me pose un problème.
Notamment quand je dois ensuite expliquer la notion de racine n-ième d'un nombre complexe en Maths Expertes et revenir sur la notion de collège dans R.

Loin de moi l'idée d'affronter tout seul la horde de mathématiciens de ce site qui pourrait s'en offusquer. J'appelle à la rescousse MM. Bouvier, George et Le Lionnais, auteurs du "Dictionnaire des mathématiques", éditions PUF. En face de "Carrée", je trouve la définition suivante :
" un élément 'y' d'un anneau 'A' est une racine carrée d'un élément 'x' de 'A' si y²=x. Dans C, tout nombre non nul admet 2 racines carrées. Dans R, un nombre négatif n'admet pas de racine, et un nombre strictement positif admet deux racines carrées notées √x (pour la positive) et -√x.." Ah !

Donc pourquoi ne dirait-on pas qu'un nombre réel strictement positif possède 2 racines carrées, une positive et une négative, mais que par contre, la FONCTION racine carrée n'associe à un réel positif que sa racine positive, et donc que √x ne désigne effectivement que la racine positive (pourquoi ne l'appelle-t-on pas comme ça d'ailleurs ?) La notion de fonction étant abordée en 3e et la racine en 4e on pourrait juste parler du "symbole" √x qui ne désignerait que le nombre positif ?

Merci de vos retours !

Fred

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Re : Non, la racine carrée d'un réel réel positif n'est pas un réel positif

Bonjour

  je suis loin d'être expert mais j'ai l'impression que c'est une construction assez longue qui est faite autour des notions de fonctions, d'antécédents... Ce que tu proposes est parfaitement cohérent mathématiquement mais est il raisonnable de procéder ainsi en 4e quand la notion de fonction reste obscure ?

Fred

Bernard-maths

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Re : Non, la racine carrée d'un réel réel positif n'est pas un réel positif

Bonjour à tous !

Je vais vous raconter une histoire ... comme ça me vient. A interpréter cool.

On commence avec les nombres entiers, puis on fait des calculs, la soustraction n'est pas toujours possible, mince alors !

On fait connaissances avec les nombres à virgule (à cause de Pi ?), des fractions, des réels (tranquillement), des négatifs ...

Et puis on parle de carré (surface d'un disque ?), on constate que pour les réels positifs x il existe un nombre positif a dont le carré vaut x, a² = x.

Et c'est là qu'on dit que a est la racine carre de x, qu'on note a = $\sqrt x$. Il est sous entendu que a est la racine carrée, qui est donc positive.

Puis on voit que deux nombres opposés ont le même carré ! Et c'est là qu'on parle de racine carrée positive déjà notée $\sqrt x$, et de la racine carrée négative, donc notée -$\sqrt x$ ...

L'histoire de la racine carrée démarre doucement et se complète au fil des années et des connaissances.

Cordialement, Bernard-maths

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Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
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Reouven

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Re : Non, la racine carrée d'un réel réel positif n'est pas un réel positif

Ta question n'est pas nouvelle, c'est pour ça qu'on parle d'UNE détermination de la racine carrée.

Dernière modification par Reouven (29-10-2025 18:44:00)

plem06

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Re : Non, la racine carrée d'un réel réel positif n'est pas un réel positif

Bonjour,

Merci à Reouven pour la référence, je n'avais effectivement pas en tête ce cas de figure pour la racine carrée. Mais ce qui m'intéresse ici c'est surtout pourquoi on distord la réalité pour les élèves lors de leur apprentissage au collège.

Merci Fred de ton retour. Pour éviter la notion de fonction, il me semble qu'on pourrait avoir une formulation du genre :
- "Définition : Soit a un nombre réel positif. UNE racine carrée de a est UN nombre réel dont le carré est égal à a"
   " Propriétés : un nombre réel strictement positif 'a' possède DEUX racines carrées : une positive notée √a et une négative notée -√a.
   La racine carrée de zéro, notée √0 est égale à 0"
- ou alors modifier subtilement la définition (ex : celle de bibmaths) sans en avoir l'air en disant plutôt "Définition : Soit a un nombre réel positif. La racine carrée de a notée √a est l'unique nombre réel positif dont le carré est égal à a. " Sous entendu : la racine dont on parle ici est celle notée  √a, pas l'autre ?

Bernard, merci aussi de cette histoire qui se suit bien. En référence à ta conclusion, ce qui me gêne quand même ici c'est qu'on n'est pas tout à fait dans la construction d'une notion qu'on complète ensuite, mais qu'on "déconstruit" : je vous écris d'abord noir sur blanc que LA racine carrée c'est un nombre positif... et en fait non, il y en a une autre ! Qu'on omette certains aspects dans le but de ne pas compliquer, oui, mais de la à écrire des choses fausses, il y a un pas, non ? J'ai l'impression qu'on ment avant de rétablir la vérité... et ce d'autant plus que la définition "complétée" d'une racine carrée (qui mentionnerait la racine négative) n'est JAMAIS énoncée en tant que telle dans le programme collège-lycée. Toujours en référence à ton histoire, on finit par entendre parler de -√x, mais non pas comme la racine carrée négative, mais comme l'opposé de LA racine carrée...

C'est si compliqué ? Je trouve dommage qu'une discipline souvent associée à la rigueur ultime (dont celle des définitions) s'accommode de ce petit arrangement. Mais bon, je vais m'en remettre, hein :-)

Merci d'avoir pris le temps de répondre en tout cas.

Reouven

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Re : Non, la racine carrée d'un réel réel positif n'est pas un réel positif

Ok  merci de me remercier mais as-tu bien lu sur la page, la partie sur la notion de "détermination principale" ?

la racine ou une racine carrée, de toute façon, ça reste du langage naturel, que des mots.

Le principal est de savoir, comment mathématiquement on l'utilise plutôt que s'attacher à des conventions. Je suis un peu sec, mais c'est juste pour dire que je n'ai pas bien compris la réponse que tu m'as donnée, rien de plus.

Chazel

Invité

Re : Non, la racine carrée d'un réel réel positif n'est pas un réel positif

Bonjour
Je prépare le capes de maths.
En candidat libre, à 57 ans.