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Malette_Suspecte

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Question sur les limites de quotient

Bonsoir,

Considérez 2 fonctions f et g telles que :

lim f(x) ≠ 0 et lim g(x) = 0 lorsque x tend vers un réel a dans I .

Pourquoi est-ce faux de dire, partant de ces seules hypothèses : Alors lim |f(x)| / g(x) = +∞
?

J'ai supposé que c'était vrai et l'ai utilisé pour une "démonstration" (qui n'en est donc pas une) mais il s'avère que cette affirmation est fausse et je n'arrive pas à comprendre pourquoi.

Merci à vous.

gebrane

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Re : Question sur les limites de quotient

Si la limite de g est un 0^-  c ' est faux

DeGeer

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Re : Question sur les limites de quotient

Bonjour
Tu n'as pas d'information sur le signe de $g(x)$ donc tu ne peux pas connaître le signe du quotient.

Malette_Suspecte

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Re : Question sur les limites de quotient

Re,
Merci pour vos réponses. Donc on peut au moins conclure que le quotient tend vers ±∞ ?

DeGeer

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Re : Question sur les limites de quotient

Non plus sans autres hypothèses sur les fonctions. Par exemple, on peut prendre pour $f$ la fonction constante égale à $1$ et pour $g$ la fonction définie par $g(0)=0$ et par $g(x)=x \times (-1)^{\lfloor \frac{1}{x} \rfloor}$ pour $x \neq 0$, où $\lfloor .\rfloor$ désigne la partie entière.
Si par contre $g$ est continue et ne s'annule pas dans un voisinage de $a$, on a bien divergence en $\pm \infty$.

Dernière modification par DeGeer (26-10-2025 10:36:01)

gebrane

Invité

Re : Question sur les limites de quotient

Il y a l exemple classique de $$x\to \frac 1{x\sin(\frac 1x}}$$

[EDIT @Yoshi]
C'est ça que tu voulais écrire : $x\to \frac {1}{x\sin(\frac 1 x)}$ ??

Dernière modification par yoshi (26-10-2025 13:10:29)