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yann1221

Invité

fonction à partir du graphe

Saluuut ,
est ce que pour n'importe quelle fonction que je dessine arbitrairement , je peux trouver son expresssion ? expression analytique .

Si je trace par hasard un trait , une figure quelconque en respectant la définition dune fonction , c'est pour tout element de depart ya au plus un seul element à l'arrivée , est ce que son expression existe ???

Merci .
Yann1221

Roro

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Re : fonction à partir du graphe

Bonjour,

A mon avis, il a presqu'aucune chance que le graphe que tu traces à la main corresponde à une fonction usuelle (c'est-à-dire composée de polynômes, fonction hyperbolique, trigonométrique, exponentielle, etc.). Il existe beaucoup de fonctions qui ne sont pas exprimables avec les fonctions usuelles, ça dépend de ce que tu cherches vraiment -et de ce qu'on appelle fonction usuelle !

Même si tu essayes de tracer une parabole à la main, ce ne sera pas exactement une parabole...

D'un autre coté, si tu imagines que ta fonction tracée est une succession de minis segments alors ou tu pourras trouver une expression pour chaque segment et donc avoir une expression analytique de ta fonction.

En fait, c'est une question plus philosophique sur ce qu'est un graphe tracé, et comment le traces-tu ? A la main, à l'aide d'un logiciel ?
Qu'est ce que pour toi une expression analytique ?

et... pourquoi cette question ?

Roro.

Dernière modification par Roro (30-09-2025 06:54:40)

Ernst

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Re : fonction à partir du graphe

Saluuut ,
est ce que pour n'importe quelle fonction que je dessine arbitrairement , je peux trouver son expresssion ? expression analytique .

Si je trace par hasard un trait , une figure quelconque en respectant la définition dune fonction , c'est pour tout element de depart ya au plus un seul element à l'arrivée , est ce que son expression existe ???

Merci .
Yann1221

Bonjour,

La réponse est oui, grâce aux séries de Fourier. Par approximations successives on peut obtenir une fonction qui peut reproduire n'importe quel dessin :
https://youtu.be/7dihDDO_SLw?t=33

Les explications mathématiques se trouvent ici :
https://youtu.be/r6sGWTCMz2k?t=0

On peut sauter la partie thermodynamique et aller directement aux explications pratiques :
https://youtu.be/r6sGWTCMz2k?t=770

DeGeer

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Re : fonction à partir du graphe

Bonjour
La réponse à ta question est non. En effet l'ensemble des formules que tu peux énoncer pour définir une fonction est dénombrable, alors que l'ensemble des fonctions ne l'est pas.
Si par contre tu imposes que ta fonctions soit continue et définie sur un segment, alors tu peux l'approcher uniformément par certaines classes de fonctions : polynômes, polynômes trigonométriques ...

Roro

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Re : fonction à partir du graphe

Bonjour,

Je suis d'accord avec DeGeer sur le fait que la réponse est non.

Toutefois j'ai l'impression que l'ensemble des formules que tu peux énoncer pour définir une fonction n'est pas dénombrable. En effet, les formules suivantes $x\longmapsto \lambda x$ définissent des fonctions et sont en quantité non dénombrable (il y en a autant que de $\lambda\in \mathbb R$).

Pour répondre à Ernst, je pense que les séries de Fourier approchent certaines classes de fonctions, mais peut-on parler d'expression analytique ?

Roro.

Ernst

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Re : fonction à partir du graphe

Pour répondre à Ernst, je pense que les séries de Fourier approchent certaines classes de fonctions, mais peut-on parler d'expression analytique ?

Hello Roro,

Dans mon esprit, une série de Fourier utilisée en pratique pour reproduire un tracé a un nombre fini de termes. Pour moi, c’est clairement une fonction au sens classique, c’est-à-dire une somme finie de sinus et cosinus. Pour chaque $t$ de l’intervalle, on obtient un et un seul $f(t)$.

bridgslam

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Re : fonction à partir du graphe

Bonjour

l'ensemble des expressions formées à partir d'une variable x, d'un nombre fini d'opérations sur des fonctions de x paramétrées par des paramètres réels ( choisies parmi un nombre fini ou dénombrable de fonctions connues) est (à mon avis) équipotent à $\mathbb{R}$.
L'ensemble de toutes les fonctions possibles sur un intervalle réel est, lui, équipotent à P($\mathbb{R}$)...
Ce n'est donc pas possible ( sauf erreur), si on ne possède ne serait-ce  qu' un répertoire infini dénombrable de types de fonctions ( donc à leurs paramétrisations  réelles près), ce qui est déjà énorme.

Alain

Dernière modification par bridgslam (30-09-2025 16:14:52)

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
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Roro

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Re : fonction à partir du graphe

Bonjour,

Dans mon esprit, une série de Fourier utilisée en pratique pour reproduire un tracé a un nombre fini de termes. Pour moi, c’est clairement une fonction au sens classique, c’est-à-dire une somme finie de sinus et cosinus. Pour chaque $t$ de l’intervalle, on obtient un et un seul $f(t)$.

Si tu ne prends qu'un nombre fini de termes dans une série de Fourier alors tu es clairement très loin de décrire toutes les fonctions... tu n'auras, par exemple, pas la fonction $x\mapsto x²$...

Roro.

Dernière modification par Roro (30-09-2025 16:03:12)

Ernst

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Re : fonction à partir du graphe

Re-bonjour,

Il ne s'agit pas de décrire une fonction, mais un tracé, et on peut choisir n'importe quelle fonction qui fait le job, donc si le tracé est celui d'une parabole verticale, je choisis f(x)=x² bien sûr.

Le demandeur parle bien de fonction qu'on retrouverait à partir d'un tracé :

une figure quelconque en respectant la définition dune fonction , c'est pour tout element de depart ya au plus un seul element à l'arrivée , est ce que son expression existe ?

Je ne vois vraiment pas ce qui permet d'affirmer que 'non', j'ai presqu'envie de dire que déjà on n'en sait rien, mais comme cela exclu d'emblée tout ce qui sort des clous, le 'oui' me paraît plutôt plausible. Avant même Fourier, je pensais à Weierstrass qui permet d’approximer n’importe quel tracé continu aussi tordu soit-il par des polynômes.

Donc je me demande : sur quel critère rigoureux peut-on affirmer qu’il n’existe aucune expression analytique pour un tracé donné ? Montrer l’existence d’une approximation concrète (Weierstrass, Fourier) me semble bien plus tangible que d’invoquer des ensembles abstraits ou la cardinalité.

bridgslam

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Re : fonction à partir du graphe

Bonsoir,

Après cela dépend aussi du sens à donner à "expression analytique" dans la question de Yann1221.
L'opération de passage à la limite ( l'approximation poussée à l'extrême si je puis dire) est-elle autorisée ?
Si on ne fait pas de passage à la limite, la "représentation" en tant qu'approximation n'est plus unique en général, selon le degré de qualité.
Autre exemple annexe: l'intégrale de Riemann d'une fonction continue sur un segment donné a un sens.
Est-ce une expression analytique ? Ah oui, la primitive ! ...  mais quelle est son expression justement dans chaque cas?
Une fonction indicatrice d'une partie d'un segment  (qui peut être compliquée à décrire mais dont on connait l'existence ) est-elle une expression analytique ?

Bref, il est nécessaire de se demander (à mon avis) à moment donné  ce qui est permis ou pas.

Cordialement

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Ernst

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Re : fonction à partir du graphe

Si tu ne prends qu'un nombre fini de termes dans une série de Fourier alors tu es clairement très loin de décrire toutes les fonctions... tu n'auras, par exemple, pas la fonction $x\mapsto x²$...

Bonsoir,

Voilà le programme Python qui trace cette approximation et affiche la fonction correspondante :

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Domaine
x = np.linspace(-1, 1, 1000)

# Fonction cible
f = x**2

# Nombre de termes dans la série de Fourier
n_terms = 50

# Coefficients de Fourier pour une fonction paire (série en cosinus)
def compute_fourier_coeffs(x, f, n_terms):
    a = np.zeros(n_terms)
    a[0] = np.trapz(f, x)  # a0 sans diviser ici, on divisera dans la reconstruction
    for k in range(1, n_terms):
        a[k] = np.trapz(f * np.cos(k * np.pi * x), x)
    return a

# Reconstruction de la série de Fourier
def reconstruct_fourier_series(x, a):
    s = a[0] / 2 * np.ones_like(x)  # Attention : a0 est divisé par 2 ici
    for k in range(1, len(a)):
        s += a[k] * np.cos(k * np.pi * x)
    return s

# Calcul
a = compute_fourier_coeffs(x, f, n_terms)
f_approx = reconstruct_fourier_series(x, a)

# Affichage de la fonction approximée en texte
def format_fourier_series(a):
    terms = [f"{a[0]/2:.5f}"]
    for k in range(1, len(a)):
        coef = a[k]
        sign = "+" if coef >= 0 else "-"
        terms.append(f" {sign} {abs(coef):.5f} * cos({k}πx)")
    return "f(x) ≈ " + "".join(terms)

# Affiche dans la console
fourier_str = format_fourier_series(a)
print(fourier_str)

# Tracé
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, f, 'b', label='$f(x) = x^2$')
plt.plot(x, f_approx, 'r--', label=f'Série de Fourier ({n_terms} termes)')
plt.title('Approximation de $x^2$ par série de Fourier')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.xlim([-1, 1])
plt.ylim([0, 1.2])
plt.show()
 

Pour les curieux :

f(x) ≈ 0.33333 - 0.40529 * cos(1πx) + 0.10132 * cos(2πx) - 0.04503 * cos(3πx) + 0.02533 * cos(4πx) - 0.01621 * cos(5πx) + 0.01126 * cos(6πx) - 0.00827 * cos(7πx) + 0.00633 * cos(8πx) - 0.00500 * cos(9πx) + 0.00405 * cos(10πx) - 0.00335 * cos(11πx) + 0.00282 * cos(12πx) - 0.00240 * cos(13πx) + 0.00207 * cos(14πx) - 0.00180 * cos(15πx) + 0.00158 * cos(16πx) - 0.00140 * cos(17πx) + 0.00125 * cos(18πx) - 0.00112 * cos(19πx) + 0.00101 * cos(20πx) - 0.00092 * cos(21πx) + 0.00084 * cos(22πx) - 0.00077 * cos(23πx) + 0.00070 * cos(24πx) - 0.00065 * cos(25πx) + 0.00060 * cos(26πx) - 0.00056 * cos(27πx) + 0.00052 * cos(28πx) - 0.00048 * cos(29πx) + 0.00045 * cos(30πx) - 0.00042 * cos(31πx) + 0.00040 * cos(32πx) - 0.00037 * cos(33πx) + 0.00035 * cos(34πx) - 0.00033 * cos(35πx) + 0.00031 * cos(36πx) - 0.00030 * cos(37πx) + 0.00028 * cos(38πx) - 0.00027 * cos(39πx) + 0.00025 * cos(40πx) - 0.00024 * cos(41πx) + 0.00023 * cos(42πx) - 0.00022 * cos(43πx) + 0.00021 * cos(44πx) - 0.00020 * cos(45πx) + 0.00019 * cos(46πx) - 0.00018 * cos(47πx) + 0.00018 * cos(48πx) - 0.00017 * cos(49πx)

Roro

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Re : fonction à partir du graphe

Bonsoir,

Tant que yann1221 n'aura pas précisé ce qu'il veut, on tournera en rond entre les uns qui proposent des tracés qui s'approchent aussi près qu'on veut de n'importe quel tracé et les autres qui expliquent qu'il y a trop de tracés par rapport aux fonctions usuelles...

C'est le sens de la réponse de Ernst : la fonction qu'il a tracé n'est pas distinguable (à l'œil) avec la fonction "carré", mais ce n'est pas la même en terme mathématiques.

Roro.