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sarah12

Invité

fonction racine niéme pour n=0

Bonjour .

Je suis Sara , fille marocaine ,,
notre prof nous a introduit la notion de " fonction racine niéme " ,c'est la fonction réciproque de la fonction x^n,,

juste pour le n , est ce qu'il peut prendre la valeur 0 , et si oui , ca sera quoi racine0iéme de x ? à quoi va etre égal ?

Je vous remercie , en particulier pour le site qui est EXCELLENT

merci

jelobreuil

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Re : fonction racine niéme pour n=0

Bonsoir, Sara,
Une autre façon d'écrire la fonction racine n-ième étant x^(1/n), et 1/n n'étant pas défini pour n = 0, je te laisse conclure ...
Un autre raisonnement possible : puisque la racine n-ième d'un nombre x est le nombre y qui, multiplié n fois par lui-même, redonne x, est-il concevable de multiplier un nombre, quel qu'il soit, zéro fois par lui-même ?
Bien cordialement, Jean-Louis

Dernière modification par jelobreuil (27-09-2025 19:55:13)

Roro

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Re : fonction racine niéme pour n=0

Bonsoir Sara,

Un autre éclairage : d'après la définition que tu as vu, la fonction racine n-ième est la réciproque de la fonction $x\in \mathbb R_+ \mapsto x^n\in \mathbb R_+$. Encore faut-il que cette fonction $x\in \mathbb R_+ \mapsto x^n\in \mathbb R_+$ admette une réciproque, autrement dit qu'elle soit bijective.

Penses-tu que pour $n=0$, la fonction $x\in \mathbb R_+ \mapsto x^0\in \mathbb R_+$ est bijective ?

Roro.

sarah12

Invité

Re : fonction racine niéme pour n=0

Juste je vais reponder Roro , ; la fonction que tu m'a dit n'est pas bijective , mais pour la fonction , par exemple :
                     {1]------------> R+
                      x------------->x^0 est biejective ,,,

je vais repondre aussi à Jelobreuil,,,
          pour n = 0 , ca veut dire multiplié 0 fois , donc c'est lui meme ,,,

merciiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

Roro

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Re : fonction racine niéme pour n=0

Bonsoir,

Juste je vais reponder Roro , ; la fonction que tu m'a dit n'est pas bijective , mais pour la fonction , par exemple :
                     {1]------------> R+
                      x------------->x^0 est bijective

La fonction que tu proposes n'est pas surjective... donc pas bijective.

Roro.

sarah12

Invité

Re : fonction racine niéme pour n=0

Bonsoir,

Juste je vais reponder Roro , ; la fonction que tu m'a dit n'est pas bijective , mais pour la fonction , par exemple :
                     {1]------------> R+
                      x------------->x^0 est bijective

La fonction que tu proposes n'est pas surjective... donc pas bijective.

Roro.

non , bijective , pourquoi pas bijective ?
fonction qui à 1 associe 1 , donc cest clairement bijective ,,,,
non , bijective , pourquoi pas bijective ?
fonction qui à 1 associe 1 , donc cest clairement bijective ,,,,

DeGeer

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Re : fonction racine niéme pour n=0

Bonjour
Je ne comprends pas tes notations : quel est l'ensemble de départ?
En tous cas, puisque $x^0=1$ pour tout nombre $x$, un nombre autre que 1 dans l'ensemble d'arrivée n'a pas d'antécédent donc la fonction n'est pas surjective, donc pas bijective.

Roro

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Re : fonction racine niéme pour n=0

Bonjour,

Pour être bijective, il faut être surjective.
Pour être surjective, il faut que tous les points de l'ensemble d'arrivée soient atteints.

Concernant ton application $x\in \{1\} \longmapsto x^0\in \mathbb R_+$ comment atteins-tu la valeur $2$ ?

Roro.

jelobreuil

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Re : fonction racine niéme pour n=0

Bonjour à tous,
Sara, c'est vrai, on peut considérer que la racine "zéro-ième" d'un nombre, c'est ce nombre lui-même...
Multiplier un nombre par lui-même, une fois, donne son carré, deux fois, son cube, etc., donc n fois, donne sa puissance (n-1)-ième.
Mais cela signifie que l'on pourrait écrire x^(1/0) = x !! Bizarre, non ?
Bien amicalement, Jean-Louis

Michel Coste

Membre Expert

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Re : fonction racine niéme pour n=0

Bon dimanche,

Sara, c'est vrai, on peut considérer que la racine "zéro-ième" d'un nombre, c'est ce nombre lui-même...

Non, on ne peut pas. Le minimum syndical à demander à la racine $n$-ème $y$ d'un nombre $x$, c'est que $y^n=x$. Or on ne peut avoir $y^0=x$ que si $x=1$.

jelobreuil

Membre

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Re : fonction racine niéme pour n=0

Merci, Michel, d'avoir rectifié mes écrits hasardés... Les choses sont plus claires !
Je me disais aussi que quelque chose clochait, mais quoi ? Eh bien, maintenant, je le sais !

Lorge

Invité

Re : fonction racine niéme pour n=0

Je vois 2 moyens de considérer cet objet, et les 2 prouvent que ça n'est pas un fonction. Si tu considère la réciproque :
On sait que x^0 = 1 pour tout x réel (sauf en 0, mais ici, la limite de x->0 de x^0 est bien égale à 1). Tu as une fonction constante et donc non injective. La "réciproque", c'est une droite verticale. Non fonctionnelle donc.

Une autre manière de voir facilement qu'il y a un problème, c'est de considérer que racine_nème(x) = x^(1/n).  Donc, racine_0ème(x) = x^(1/0). Ça coince aussi. Tu peux  toujours essayer d'obtenir un résultat en considèrant la suite de fonction f_n(x) = x^n qui tend bien vers x^"l'infini", dans ce cas là, par propriétés des suites exponentielles, tu constates que la fonction x^n converge simplement (uniformément sur ]-1,1[) vers 0 si x appartient à ]-1,1[, 1 si x = 1 et diverge pour tout autre x... Si tu nommes cette fonction f, on est loin d'avoir f(x^0) = x. Ici, on a plutôt f(x^0) = 1 (si x différent de 0).

Là, tu vas me dire, la limite de y->0 de 1/y c'est +l'infini à droite et - l'infini à gauche, et tu as raison, mais on tombe sur les mêmes conclusions qui ne nous aident pas non plus en considérant la suite g_n(x) = x^-n. Cette fois-ci, ça converge uniformément sur A = ]-l'infini,-1[ U ]1, l'infini] (simplement si on considère [1, l'infini] et ça diverge ailleurs. En réalité, x^-n -> 0 si x  appartient à A et converge vers 1 si x = 1. Si on pose g la fonction limite de cette seconde suite de fonctions, on obtient toujours g(x^0) = 1 (si x différent de 0).
En plus, ici, on considère des suites de fonctions, donc on sait étudier la convergence d'exponentielles en base négative. Si tu considère la limite classique, avec des fonctions réelles (et pas naturelles), là, les exponentielles en base négatives sont discontinues partout, et tu ne sais pas calculer de limite facilement (y'a peut-être moyen, mais en analyse réelle, généralement, on les évite).

Donc, conclusion, la fonction racine_0ème n'existe pas, car x^0 n'est pas inversible. Sans considérer l'aspect de fonctions réciproques mais en se basant sur les propriétés algébriques de l'exponentiation, on s'en sort toujours pas. Cette fonction donc impossible à construire.

Hésitez pas à me corriger si je dis des bêtises. La suite de fonctions x^n est très connue, mais j'ai calculé la suite de fonctions x^(-n) au feeling, peut-être qu'il y a des inexactitudes.