Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jelobreuil

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deux segments perpendiculaires

Trouvé hier sur AoPS (Art of Problem Solving), ce problème me semble intéressant :
Soit ABC un triangle, I le centre du cercle inscrit dedans, D, E et F les points de contact de ce cercle, respectivement, avec les côtés BC, CA et AB, M le milieu de BC, et H et L les pieds sur BC, respectivement, de la hauteur et de la bissectrice intérieure issues du sommet A. La demi-droite MI rencontre en K la hauteur AH. Montrer que les segments DK et EF sont perpendiculaires.

Bernard-maths

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Re : deux segments perpendiculaires

Bonjour à tous !

Pas de réponse ?

Voici un programme GeoGebra. ON CONSTATE que c'est vrai ... (:-)

B-m

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Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !

Rescassol

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Re : deux segments perpendiculaires

Bonjour,

J'ai déjà résolu ailleurs ce problème avec  du calcul barycentrique:

% Jelobreuil - 05 Septembre 2025 - Deux segments perpendiculaires

clc, clear all

syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

% Notations de Conway
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle ABC

I=[a; b; c]; % Centre du cercle inscrit
% Triangle de contact DEF
D=[0; a+b-c; a-b+c]; E=[a+b-c; 0; b-a+c]; F=[a-b+c; b-a+c; 0]
M=[0; 1; 1]; % Milieu de [BC]
H=[0; Sc; Sb]; % Pied de la A-hauteur
L=[0; b; c]; % Pied de la A-bissectrice intérieure
K=Wedge(Wedge(M,I),Wedge(A,H)) % Point d'intersection des droites (MI) et (AH)
% On trouve K=[a*(b+c); Sc; Sb]
DK=Wedge(D,K); % DK=[-(b-c)*(b-a+c), (b+c)*(a-b+c), -(b+c)*(a+b-c)]
EF=Wedge(E,F); % EF=[a-b-c, a-b+c, a+b-c]

Nul=Factor(DK*MatriceGram(a,b,c)*EF')
% On trouve Nul=0, donc c'est gagné
 

Je peux donner des explications complémentaires à la demande.

Cordialement,
Rescassol

bridgslam

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Re : deux segments perpendiculaires

Bonjour,

La bissectrice issue de A étant perpendiculaire à EF, il suffirait en utilisant le théorème de Thalès de montrer que ML/MD = MD/MH.
Je regarderai plus avant.

@Rescassol : ce code informatique correspond à quel langage/logiciel ? C'est un peu ésotérique pour le commun des mortels...

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Rescassol

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Re : deux segments perpendiculaires

Bonjour,

J'utilise Matlab, dont le langage ressemble beaucoup à du Python.
Du point de vue mathématique, j'ai fait du calcul barycentrique.
Par exemple, $K=[a*(b+c); Sc; Sb]$ signifie que $K$ est barycentre de $A,B,C$ avec les coefficients $a*(b+c) ,Sc$ et $Sb$.
D'autre part, j'ai écrit: "Je peux donner des explications complémentaires à la demande."

Cordialement,
Rescassol

bridgslam

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Re : deux segments perpendiculaires

Bonjour,

Ok, merci, je ne connais pas ce langage.

Bonne soirée
Alain

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