Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Hello everybody !

Tiens ? Borassus réapparaît ! :-)

Pardon pour mon long silence ! J'ai passé tout l'été à travailler globalement quinze-seize par jour sur mon projet d'ouvrages, et ne me suis pratiquement pas connecté pendant toute cette période. (J'ai eu, grâce à une annonce que j'ai passée  fin juin dans Le bon coin, trois relecteurs, deux de Terminale et un de fin de Prépa scientifique, que j'ai "un peu" rémunéré 50 euros de l'heure. :-)

J'aimerais pouvoir présenter un exemple de fonction définie par morceaux, continue en une valeur $x_0$, ayant de plus le même nombre dérivé de part et d'autre de cette valeur, et dont les deux branches présentent des courbes visuellement bien différenciées, par exemple une courbe convexe d'un côté et une courbe concave de l'autre, de natures différentes.

Merci pour vos propositions, qui ne manqueront pas d'être intéressantes.

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Bonsoir,

Peut-être l'opposé de la fonction carré sur les négatifs et la fonction cube sur les positifs?
Bonne nuit

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Merci bridgslam

Je me rends compte que j'avais oublié de préciser « ayant de plus le même nombre dérivé, non nul, de part et d'autre de cette valeur.

Et j'aimerais aussi des courbes de natures différentes, pas celle d'un polynôme juxtaposée à celle d'un autre polynôme.

Dernière modification par Borassus (04-09-2025 23:07:27)

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Bonjour,
Que penses tu de $$x\longmapsto \begin{cases} x &\text{si } x \leq 0\\ \sin(x) &\text{si } x\geq 0\end{cases}$$

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Bonjour Michel,

Merci de cette proposition qui montre une jonction peu habituelle.

En reprenant la proposition de bridgslam — donc en acceptant le principe d'une dérivée nulle —, les fonctions $-0.05x^2 + 0.2x + 0.8$ (qui correspond au développement de $-0.05(x-2)^2 + 1$ — pour $x \le 2$, et $(x-2)^3 + 1$ pour $x > 2$ fournissent un résultat visuellement intéressant et évocateur :

Dernière modification par Borassus (05-09-2025 10:57:54)

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Le raccord est nettement moins joli dans le deuxième cas. On voit que ce n'est pas $C^2$, contrairement au premier dessin.

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Certes. Mais je trouve intéressant de montrer une fonction qui présente un "décrochage de courbure", et donc une allure très inhabituelle.

Cela me permettra d'expliquer que la seule connaissance du signe de la dérivée seconde ne suffit pas : à signe égal, c'est aussi, et peut-être même davantage, la valeur absolue de la dérivée seconde qui importe.

Je montrerai donc les deux fonctions car, réunies dans un même exemple, elle présentent une certaine valeur pédagogique et amorcent la notion de courbure, pas du tout enseignée au lycée.

Dernière modification par Borassus (05-09-2025 12:46:39)

Michel Coste

Membre Expert

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 464

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Franchement je ne vois pas l'avantage de la deuxième fonction par rapport au recollement de $-x^2$ pour $x\leq 0$ et $x^3$ pour $x\geq 0$, à part compliquer inutilement les équations. Enfin, tu fais comme tu veux ...

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

J'ai voulu "ouvrir" davantage la courbe de second degré pour rendre la "discontinuité de courbure" encore plus visible. J'ai voulu ensuite décaler le point de jonction en (2;1). Enfin, j'ai voulu "masquer le truc" par rapport à la simple écriture $-0,05(x - 2)^2 + 1$ :-).

jelobreuil

Membre

Lieu : 17250 Pont-l'Abbé d'Arnoult

Inscription : 14-09-2023

Messages : 235

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Bonjour Borassus,
Je crois que la fonction définie par (x² - 1)/2 pour x < 1 et Log x pour x > 1 devrait aussi te plaire, n'est-ce pas ?
Amitiés, Jean-Louis

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Bonjour à tous !

Pourquoi ne pas ajouter + ou - x/5 aux 2 fonctions du #5 ?

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (05-09-2025 14:03:53)

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Bonjour Jean-Louis,

Oh que la courbe est jolie !

Merciii Jean-Louis !

Ta fonction me fournit un exemple intermédiaire : une fonction qui n'est pas $C^2$ mais dont la jonction semble douce.

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Bonjour Jean-Louis,

Oh que la courbe est jolie !

Merciii Jean-Louis !

Ta fonction me fournit un exemple intermédiaire : une fonction qui n'est pas $C^2$ mais dont la jonction semble douce.

PS : Il m'arrive aussi d'écrire Log à la place de ln...  :-)

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Bonjour Bernard,

Merci pour ta proposition qui ajoute un peu de fantaisie du fait de la sinusoïde "montante" :

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Mais avec $- \dfrac x 5$, on obtient naturellement une sinusoïde descendante :

Cette courbe me semble plus intéressante que la précédente. 
Je crois que c'est elle que je vais utiliser pour mes exemples.
Merci Bernard !

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Bonjour à toutes et à tous,

La fonction proposée par jelobreuil en #10 est particulièrement intéressante — merci encore, Jean-Louis !! — car il faut regarder vraiment attentivement le point de jonction pour déceler qu'il ne correspond pas à une portion rectiligne, et qu'il n'y a donc pas continuité de courbure.

Contrairement aux apparences, Il ne s'agit pas d'un VRAI point d'inflexion !

Je peux donc montrer un exemple de fonction par morceaux dont la courbe ne présente pas de continuité de courbure, mais de façon quasi imperceptible, et une autre fonction par morceaux présentant, elle, une discontinuité de courbure très marquée.

(Imaginez que vous conduisez une voiture ou, pire, une moto, que vous prenez le confortable virage à droite à bonne allure, et qu'en sortie de celui-ci vous découvrez brusquement le virage à gauche... :-)

Bon week-end ensoleillé !

PS : Ah, bon ?! On ne voit en Terminale que la continuité des valeurs ?! pas celle de la dérivée ?! a fortiori pas celle de la dérivée seconde ?!
Heureusement que je ne suis pas soumis à inspection !!  :-)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Bonjour,

J'ignore si Zorro et son fouet (voire Bernardo ) connaissait les fonctions ...

A+

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Bonjour dridgslam, bonjour tout le monde,

Effectivement, j'ai immédiatement pensé à un fouet en voyant le tracé de la courbe sur GeoGebra — mais ne l'avais pas d'emblée associé à Zorro et à Bernardo :-).

Une "fonction-fouet", ce n'est pas vraiment courant !
Merci encore Bernard(o)  :-)

Bonne journée de dimanche à tous !

Dernière modification par Borassus (07-09-2025 11:11:30)

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Question: Une fonction continue en valeurs est dite de classe $C^0$ ; une fonction continue en valeurs et en pentes est dite de classe $C^1$ ; une fonction continue en valeurs, en pentes et en courbures est dite de classe $C^2$.

Y a-t-il une désignation de même ordre pour une fonction présentant une ou plusieurs discontinuités, par exemple pour $f(x) = 0,05x^2$ pour $x \le 6$ et $f(x) = 0,05x^2 + 1$ pour $x>6$ ?

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Il m'a semblé aller de soi de vous citer, Jean-Louis, Bernard, Michel et Roro :

« Cette fonction m'a été proposée sur bibmath.net par jelobreuil (forum "Entraide collège-lycée"), discussion « Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$ ».

« Cette fonction m'a été proposée par Bernard-maths (même référence que plus haut) sur la base de la fonction $x$ et $\sin x$ initialement proposée par Michel Coste. »

De même, dans mon item consacré à une fonction définie en $v_0$ mais non dérivable en $v_0$ car présentant un nombre dérivé infini en cette valeur, j'ai cité Roro, qui m'avait appris la très intéressante fonction $f(x) = \dfrac {x}{|x|} \dfrac {1}{\ln |x|}$ , qu'ont appréciée mes relecteurs ;
« Cette fonction m'a été proposée sur bibmath.net par Roro (forum "Entraide collège / lycée", discussion « Fonctions définies en $v_0$ mais avec dérivée infinie en $v_0$ »). »

Souhaitez-vous que je conserve ces formulations ?

PS : Au départ, je voulais juste montrer un exemple de fonction par morceaux avec une jonction conservant le nombre dérivé, non nul, les fonctions "cassées" au point de jonction étant trop couramment montrées. Finalement, je montre quatre fonctions, en les expliquant : une fonction $C^0$ "classique", deux fonctions $C^1$ avec des courbures très différentes, et une "fonction-fouet" $C^2$. Merci à vous !!

Dernière modification par Borassus (07-09-2025 18:20:54)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Bonjour

Après il y a aussi une question annexe qui pourrait t'intéresser:

La forme naturelle de la lanière d'un fouet,  par exemple juste avant le claquement, est à rapprocher de quelle courbe?
Problème, je pense, à rapprocher de la forme des méandres de rivière, qui tend à minimiser l'énergie de déformation globale
( rugosité du terrain, topographie, ...), en gros le chemin le plus facile... ?
La courbure est elle plus prononcée près du manche ou le contraire?

Bonne journée

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Bonjour bridgslam, bonjour tout le monde,

Justement, je me suis plusieurs fois dit que la courbe ne ressemble pas à un vrai fouet dans la mesure où l'amplitude des oscillations est constante. Comment introduire, sans doute en utilisant une fonction exponentielle judicieusement élaborée, une diminution des oscillations, et donc des courbures ??

Ce serait assez fantastique de pouvoir présenter une telle courbe !!

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

No comment !

https://www.tiktok.com/@qistoh/video/72 … 81?lang=fr

Ma réflexion personnelle sur le fonctionnement du fouet est la suivante :

un fouet comporte un manche suivi par une lanière de plus en plus fine, et souvent terminé par un petit bout ...

Un mouvement fort du manche, de haut en bas par ex, va générer une énergie cinétique ... qui va se transmettre le long du fouet ...

Admirez ! C'est pas bien dit tout ça ? (;-)

Si M est la masse du manche animé de la vitesse V, et m celle de la pointe ayant acquis une vitesse v, on peut penser que MV² = mv² ... ce qui devrait donner une vitesse v assez grande !

Par ex si M = 100 g et V = 3 m/s, avec m = 10 g, on aurait v = 9 m/s environ ... ça ne claque pas encore ...

Mais si M = 1 kg, m = 1 g et V = 10 m/s, alors v = 330 m/s, ça devient dangereux !

A vous de cogiter,

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (08-09-2025 19:54:05)

Borassus

Membre

Lieu : Boulogne-Billancourt

Inscription : 07-02-2023

Messages : 988

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Bonjour Bernard, bonjour à toutes et à tous,

Effectivement, le claquement provient du fait que le bout franchit le mur du son (343 m/s à 20°C) et peut même dépasser Mach 2.

Voici les explications que ChatGPT m'a aimablement fournies :

Moi : A quoi est dû le claquement d'un fouet ? Il semble que le claquement est dû au fait que le bout du fouet atteint une vitesse proche du mur du son ?

Chat : Oui, exactement !
Le claquement d’un fouet est un phénomène physique très étudié, et vous avez bien identifié le point central : l’extrémité du fouet (la lanière, ou “mèche”) dépasse la vitesse du son.

Voici le déroulement :

1. Mouvement initial : quand on lance un fouet, on imprime une accélération à sa base (le manche).
2. Propagation de l’onde : cette accélération se propage le long de la lanière, qui est effilée : son épaisseur et sa masse diminuent vers l’extrémité.
3. Conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement : à mesure que l’onde avance vers des parties plus légères, la vitesse augmente, un peu comme quand on fait tourner une corde en la tenant d’un côté : l’extrémité bouge beaucoup plus vite que la main.
4. Vitesse supersonique : les mesures à haute vitesse ont montré que l’extrémité atteint environ Mach 2 (deux fois la vitesse du son).
5. Bang miniature : quand elle franchit la vitesse du son, l’air est comprimé brutalement → on entend un petit bang sonique, ce fameux claquement.

Donc : ce n’est pas la lanière qui frappe sur elle-même ou contre le manche, mais bien une onde de choc supersonique produite par la pointe du fouet.

Anecdote : c’est sans doute le premier “objet fabriqué par l’homme” à avoir dépassé la vitesse du son (bien avant les avions).
______________________

J'ai demandé ensuite quelles doivent être les caractéristiques du fouet pour que sa pointe atteigne Mach 2.
Je vous épargne sa réponse, trop technique.

______________________

Je reviens à ma petite lubie : comment enrichir la fonction initiale $0,8x$ et $\sin x - 0,2x$ pour que sa représentation graphique donne l'impression d'un vrai fouet, avec donc des oscillations amorties ?

Bernard-maths

Membre Expert

Lieu : 34790 Grabels

Inscription : 18-12-2020

Messages : 1 862

Re : Fonction par morceaux continue en $x_0$ et de même dérivée en $x_0$

Bonjour à Borassus ! Et aux autres curieux !

J'ai cogité un truc sur les fonctions indicatrices, mais avant je passe par le lycée. Alors je propose cet énoncé, que je continuerai bientôt ...

PROBLEME DE FONCTIONS PAR MORCEAUX, continues et dérivables (en x0).

Dans ce problème on va étudier une fonction définie par morceaux, d'abord avec un niveau lycée, puis en introduisant des fonctions indicatrices.

On considère les trois fonctions définies sur IR par : f(x) = -(4x + 10)/x ; g(x) = 7 – (x-3)²/4 ; et  h(x) = (5x + 8)/x.

A) Etude traditionnelle niveau lycée.

1°) Etudier et représenter (en 3 couleurs) ces trois fonctions dans un même repère orthonormé.

2°) Déterminer les trois points d'intersections, A, B et C (selon les abscisses croissantes) de ces trois courbes.

3°) Déterminer les équations des tangentes aux points A et B. Que conclure pour les courbes de f et de g en A ? Et pour les courbes de g et de h en B ?

4°) On s'intéresse à la fonction p définie sur IR par morceaux, par : p = f sur ]- ∞, -2[ ; p = g sur [-2 , 4] ; et p = h sur ]4 , + ∞[.

Tracer la courbe de p dans un nouveau repère orthonormé, avec ses asymptotes.

5°) Pourquoi cette fonction p est-elle continue et dérivable sur IR ?

B) Avec des fonctions indicatrices.

Qu'en pensez-vous ? A plus tard !

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (06-10-2025 19:05:16)