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Maxime Jaccon

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Calcul stochastique d'Ito : pourquoi le mouvement brownien est dt

J'étudie le calcul stochastique d'Ito et j'entends sans cesse dire qu'un fait essentiel est que dB_t ^ 2 = dt pour le mouvement brownien. J'ai lu que la démonstration complète peut être un peu complexe, utilisant des limites de sommes et une variation quadratique, mais je me demande s'il existe une méthode intuitive pour comprendre pourquoi il se comporte comme dt.

bib99

Invité

Re : Calcul stochastique d'Ito : pourquoi le mouvement brownien est dt

Bonjour,

Pour une partition quelconque de l'intervalle [tex][0,t][/tex], [tex]\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (B(t_k ) - B(t_{k-1})^2 = t[/tex], d'où, heuristiquement, [tex](dB_t)^2 = dt[/tex].
En effet, [tex]B(t_k ) - B(t_{k-1} ) \sim \mathcal{N} ( 0 , t_k - t_{k-1} )[/tex], Donc,  [tex]E( (B(t_k ) - B(t_{k-1})^2 ) = Var (B(t_k ) - B(t_{k-1})) = t_k - t_{k-1} [/tex], d'où, [tex]E( \displaystyle \sum_{k=1}^n (B(t_k) - B(t_{k-1})^2) = \displaystyle \sum_{k=1}^n (t_k - t_{k-1}) = t = E(t)[/tex]. D'où, [tex]\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (B(t_k ) - B(t_{k-1})^2 = t[/tex] dans [tex]L^2[/tex]. D'où, heuristiquement, [tex](dB_t)^2 = dt[/tex].

Cordialement.

Maxime Jaccon

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Re : Calcul stochastique d'Ito : pourquoi le mouvement brownien est dt

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Elle m'a beaucoup aidé. Mais comment justifieriez-vous l'heuristique ? De la somme à l'infinitésimal ?

Cordialement.

bib99

Invité

Re : Calcul stochastique d'Ito : pourquoi le mouvement brownien est dt

Bonjour,

[tex]\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (B(t_k ) - B(t_{k-1})^2 = t[/tex], signifie que, [tex]\displaystyle \int_0^t ( dB_s )^2 = \displaystyle \int_0^t ds[/tex], d'où, heuristiquement, [tex](dB_t)^2 = dt[/tex].

Cordialement.