Forum de mathématiques - Bibm@th.net

passant13999

Invité

Relation de récurrence.

En demandant à DeepSeek de résoudre la récurrence:  u(0)=0 et u(n+1)+u(n) = n

Je pensais obtenir une réponse classique: u(n) = E(n/2)  (qui est celle que j'obtiens moi même)

Mais non ! l'IA considère que c'est une récurrence linéaire d'ordre 1 et calcule dont une solution particulière du type An+B puis la solution générale de l'équation homogène u(n+1) + u(n) = 0 ce qui donne  u(n) = K*(-1)^n

Puis ajoute les deux pour obtenir la belle formule:

u(n) = 1/4  ( 2n -1 + (-1)^n )

Et le plus étonnant c'est que ca semble marcher !

Si quelqu'un(e) a une explication, je suis preneur.

DeGeer

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Messages : 198

Re : Relation de récurrence.

Bonjour
La réponse que tu as trouvée est la bonne. Celle que t'a donnée l'IA aussi. Il suffit de distinguer dans la formule donnée par l'IA le cas n pair et n impair pour retrouver ta formule.
Pour obtenir la formule donnée par l'IA, ce n'est pas une suite récurrente linéaire d'ordre 1 en raison du n dans la formule. Tu peux t'inspirer des suites arithmético-géométriques en étudiant la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $v_n=u_n - \frac{n}{2}$.
Moralité : il faut se méfier des réponse de l'IA.

passant13999

Invité

Re : Relation de récurrence.

Merci.

Apparemment l'IA utilise la même méthode que pour les équations différentielles, je lui ai demandé des explications.

La solution de l'équation homogène appartient à un espace vectoriel, puis quand on a trouvé une solution particulière on est dans un espace affine, le rassemblement des deux solutions fournit alors la solution générale.

Mais en vrai mon étonnement c'est de trouver  E(n/2) = formule alambiquée !

Sinon DeepSeek et ChatGPT sont extraordinaires pour les problèmes jusqu'à la licence. C'est même à peine croyable.

Mais évidemment au moins 10% des réponses sont fausses !!   

D'un autre coté ca oblige à vérifier les démonstrations, ce qui est bien le minimum qu'on peut demander à un étudiant.