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stphh

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Notation petit o dans le cadre d'espaces vectoriels normés

Bonjour,

De ce que j'ai pu comprendre, si on a [tex]E[/tex],[tex] F[/tex], [tex]G[/tex] trois espaces vectoriels normés respectivement par [tex]\lVert \cdot \rVert _{E}[/tex], [tex]\lVert \cdot \rVert _{F}[/tex] et [tex]\lVert \cdot \rVert _{G}[/tex], et [tex]f : E \longrightarrow F[/tex], [tex]g : E \longrightarrow G[/tex], on dit que [tex]f(x) = o(g(x))[/tex] au voisinage de [tex]a \in E[/tex] lorsque le rapport [tex]\displaystyle\frac{\lVert f(x) \rVert_{F}}{\lVert g(x) \rVert_{G}}[/tex] tend vers [tex]0[/tex] en [tex]a[/tex]. Et donc il existe une fonction [tex]\eta[/tex] définie au voisinage de [tex]a[/tex] à valeurs réelles telle qu'au voisinage de [tex]a[/tex], on ait [tex]\lVert f(x) \rVert_{F} = \eta(x) \lVert g(x) \rVert_{G}[/tex] (on a un petit o réel avec les normes en fait).

D'où ma question : quand on définit la différentielle d'une fonction, ou quand on dérive des fonctions vectorielles de la variable réelle, et qu'on étudie les développements limités associés, on fait appel à une notation [tex]o(h)[/tex], et puis quand on veut démontrer certaines propriétés par la suite, il est commode de transformer le [tex]o(h)[/tex] en [tex]\varepsilon(h) \lVert h \rVert[/tex]. Quel est le lien logique entre cette substitution, et la définition que j'ai donnée au-dessus?

Cordialement

S.

Michel Coste

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Re : Notation petit o dans le cadre d'espaces vectoriels normés

Bonsoir,
Avec ce que tu as écrit, $f(h)=o(g(h))$ veut dire que $\dfrac1{\Vert g(h)\Vert}f(h)$ tend vers $0$. Tu peux poser $\varepsilon (h) =\dfrac1{\Vert g(h)\Vert}f(h)$.

stphh

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Re : Notation petit o dans le cadre d'espaces vectoriels normés

Je comprends mieux désormais. Avec les epsilons, on a l'équivalence entre [tex]\displaystyle\frac{f(h)}{\lVert g(h) \rVert} \xrightarrow[h \to a]{}0_{F}[/tex] et [tex]\displaystyle\frac{\lVert f(h) \rVert}{\lVert g(h) \rVert} \xrightarrow[h \to a]{}0_{\mathbb{R}}[/tex]. On pose donc [tex]\varepsilon(h) = \displaystyle\frac{f(h)}{\lVert g(h) \rVert}[/tex] au voisinage de [tex]a[/tex] et on y arrive bien.

Merci pour la remarque.

Michel Coste

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Re : Notation petit o dans le cadre d'espaces vectoriels normés

Avec plaisir.