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Orange99

Invité

Distributions.

Bonsoir,

Soient [tex]u_1 , u_2 , u_3 \in \mathcal{C}^{ \infty } ( \mathbb{R}_{+}^{*} \times \mathbb{R}^3 )[/tex], telles que, [tex]\forall t \in \mathbb{R}_{+}^{*}[/tex] , [tex]\forall \varphi \in \mathcal{D} ( \mathbb{R}^3 )[/tex] , on a, [tex]\displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ = 0[/tex]

Comment montrer que, [tex]\forall t \in \mathbb{R}_{+}^{*}[/tex] , [tex]\forall \varphi \in \mathcal{D} ( \mathbb{R}^3 )[/tex] , on a,

- [tex] \ \ \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } u_1 \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ = 0[/tex] .
- [tex] \ \ \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } u_2 \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ = 0[/tex] .
- [tex] \ \ \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } u_3 \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ = 0[/tex] .

Merci d’avance.

Roro

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Re : Distributions.

Bonjour,

Je ne pense pas que ce que tu souhaites démontrer soit vrai !

D'ou cela vient-il ?

Ton hypothèse revient à dire que le champ $u$ est à divergence nulle... et j'ai l'impression qu'il existe des contre-exemples.

Roro.

Orange99

Invité

Re : Distributions.

Bonjour Roro,

Merci Roro pour ta réponse.

D'ou cela vient-il ?

C'est juste une question personnelle que je me pose. C'est mon intuition qui dit ça.

Peut-t-on écrire les choses comme suit,  (?)

[tex]\forall t \in \mathbb{R}_{+}^{*}[/tex] , [tex]\forall \varphi \in \mathcal{D} ( \mathbb{R}^3 )[/tex],
[tex]\big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ = \displaystyle \sum_{i=1}^3 \displaystyle \langle u_i , \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \displaystyle \rangle \  u_i [/tex].
[tex] = \displaystyle \sum_{i=1}^3 \big( \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } u_i \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ \big) \  u_i [/tex]

Merci d'avance.

Roro

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Re : Distributions.

Bonjour,

Peut-t-on écrire les choses comme suit,  (?)
[tex]\forall t \in \mathbb{R}_{+}^{*}[/tex] , [tex]\forall \varphi \in \mathcal{D} ( \mathbb{R}^3 )[/tex],
[tex]\big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ = \displaystyle \sum_{i=1}^3 \displaystyle \langle u_i , \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \displaystyle \rangle \  u_i [/tex].
[tex] = \displaystyle \sum_{i=1}^3 \big( \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } u_i \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ \big) \  u_i [/tex]

Disons qu'il y a plusieurs choses qui me dérangent comme l'introduction d'un réel $t$ qui n'est pas utilisé ensuite... mais c'est un détail.

J'ai l'impression que tu utilises la famille $\{u_1,u_2,u_3\}$ comme une base orthonormée de je ne sais quel espace !

Si j'ai bien compris, tu veux montrer un résultat pour une famille $\{u_,u_2,u_3\}$ quelconque de fonctions régulières. As-tu essayé de voir ce que ça donne avec $u_1(t,x,y,z)=x$, $u_2(t,x,y,z)=-y$ et $u_3(t,x,y,z)=0$ ?

Roro.

Dernière modification par Roro (09-04-2025 11:50:14)

Orange99

Invité

Re : Distributions.

Bonjour,

Disons qu'il y a plusieurs choses qui me dérangent comme l'introduction d'un réel $t$ qui n'est pas utilisé ensuite... mais c'est un détail.

[tex]t[/tex] est juste un paramètre que tu peux considérer comme une constante. Il n'a aucune importance.

J'ai l'impression que tu utilises la famille $\{u_1,u_2,u_3\}$ comme une base orthonormée de je ne sais quel espace !

Si j'ai bien compris, tu veux montrer un résultat pour une famille $\{u_,u_2,u_3\}$ quelconque de fonctions régulières.

Non. [tex]\{ u_1 , u_2 , u_3 \}[/tex] est une famille quelconque de fonctions régulières, et non une base orthonormée.
Si, [tex]\{ u_1 , u_2 , u_3 \}[/tex] n'est pas une base orthonormée d'un espace ( Peu importe lequel ), la formule suivante est-t-elle fausse, (?)

[tex]\big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ = \displaystyle \sum_{i=1}^3 \displaystyle \langle u_i , \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \displaystyle \rangle \  u_i [/tex].

Merci d'avance.

Roro

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Re : Distributions.

Bonsoir,

Si, [tex]\{ u_1 , u_2 , u_3 \}[/tex] n'est pas une base orthonormée d'un espace ( Peu importe lequel ), la formule suivante est-t-elle fausse, (?)

[tex]\big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \ = \displaystyle \sum_{i=1}^3 \displaystyle \langle u_i , \big( u_1 \dfrac{ \partial }{ \partial x } + u_2 \dfrac{ \partial }{ \partial y } + u_3 \dfrac{ \partial }{ \partial z } \big) \ \varphi \displaystyle \rangle \  u_i [/tex].

Est ce que tu as réfléchi avant de poser cette question car la réponse me semble quand même évidente !
Essaye n'importe quelles fonctions $u_1$, $u_2$ et $u_3$, comme par exemple $u_1=1$, $u_2=0$ et $u_3=0$, et tu te rendras compte que c'est presque toujours faux !

En effet, dans ce cas particulier tu demandes si
$$\forall \varphi \in \mathcal D(\mathbb R^3) \quad \partial_x \varphi = 0.$$
Tu te rends bien compte que c'est faux...

De manière générale, lorsque tu veux voir si un énoncé a une chance d'être juste il faut commencer par regarder des cas "simples". Parfois on souhaite tellement que ce soit vrai qu'on ne pense même pas que ça puisse être faux.

Roro.

Dernière modification par Roro (09-04-2025 16:26:40)

Orange99

Invité

Re : Distributions.

D'accord. Merci Roro.