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akram.chtt

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espace vectoriel engendré dans C

Bonsoir les amis svp , est ce qu'on peut avoir un espace engendré par un élément dans C ou par deux éléments dans C ou ...

Merci d'avance ,

Roro

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Re : espace vectoriel engendré dans C

Bonjour akram.chtt,

Le titre de ton post est "espace vectoriel engendré dans C".

Ce dernier étant de dimension complexe $1$, tu ne vas pas engendrer beaucoup de choses.
Dans cet espace, un élément non nul engendrera tout l'espace, et deux éléments seront toujours liés.
La raison est que pour tout couple de nombres complexes $(z_1,z_2)\in \mathbb C^2$ tu peux toujours trouver deux complexes $\lambda_1$ et $\lambda_2$, non nuls tous les deux, tels que $\lambda_1 z_1+\lambda_2 z_2=0$ (prendre par exemple $\lambda_1 = z_2$ et $\lambda_2=-z_1$ lorsque $z_1$ et $z_2$ ne sont pas tous les deux nuls).

Roro.

P.S. En fait tout ça n'a de sens que si tu précises le corps sur lequel tu parles d'espaces vectoriels. Dans ce que j'ai écrit, le corps était $\mathbb C$ mais tu peux aussi voir $\mathbb C$ comme un $\mathbb R$-espace vectoriel qui est alors de dimension $2$, ou même comme un $\mathbb Q$-espace vectoriel mais dans ce cas c'est bien plus compliqué : https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=7028

Dernière modification par Roro (24-03-2025 11:27:12)

agrega_sarrachles_tif

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Re : espace vectoriel engendré dans C

Pour tenter de répondre à la question(pas sûr d'avoir compris), pour engendré un espace vectoriel de dimension n, il faut minimum n vecteurs. Ça ne suffit pas par contre, il faut que ces n vecteurs soient libres. On peut aussi engendrer un espace de dimension n avec plus de n vecteurs, exemple tout bete, si t'as n vecteurs qui engendrent un espace vectoriel, n'importe quel ensemble de vecteurs qui les contient engendrera aussi l'espace.

bridgslam

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Re : espace vectoriel engendré dans C

Bonsoir,

Un corps ( comme celui des complexes ou des réels) est toujours un ev sur lui-même, engendré par (au moins) un élément non nul.
Ça change bien sûr si on le considère sur un sous-corps.