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glnr_1

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Démonstrations endomorphismes/somme directe

Bonjour, pouvez-vous vérifier les preuves que j'ai écrites pour les propositions suivantes ? En vous remerciant !

1. Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Soit $f \in \mathcal{L}(E,F) $.
On a alors $ f \in \mathcal{L}(F,E) $.
Preuve :
On a que $f^{-1} $ est bijective.
Soit $ ( \lambda , x , y ) \in \mathbb{K} \times E^2 $.
On a $ f \bigl( f^{-1}( \lambda x + y ) \bigr) = \lambda x + y = \lambda f(f^{-1}(x)) + f(f^{-1}(y))
= f(\lambda f^{-1}(x)+f^{-1}(y)) $
donc, par injectivité de $f$, on a $ f^{-1}(\lambda x + y) = f^{-1}(\lambda x)+f^{-1}(y) $
donc $f \in \mathcal{L}(F,E) $

2. Soit $E$ un $ \mathbb{K}-EV $. Soient $ F,G,H $ trois SEV de $E$. On a que $F,G$ et $H$
sont en somme directe si et seulement si $ \forall (x,y,z) \in F \times G \times H, x+y+z = 0
\implies x = y = z = 0 $
Preuve :
On suppose que $F,G$ et $H$ sont en somme directe.
Soit $(x,y,z) \in F \times G \times H$. On suppose $x+y+z = 0$
On a $x+(y+z) = 0+0$ et $(x,y+z) \in F \times (G+H)$ donc $x = 0$ et $y+z = 0$
On a $y+z = 0 + 0$ et $(y,z) \in G \times H$ donc $ y = 0$ et $z = 0$
On suppose que $ \forall (x,y,z) \in F \times G \times H, x + y + z = 0 \implies x = y = z = 0 $.
Soit $ t \in F + (G+H) $. Soit $(x,x',y,y',z,z') \in F^2 \times G^2 \times H^2$.
On suppose $t = x+(y+z)$ et $t = x' + (y+z)$ on a $0+0 = (x-x')+((y-y'))+(z-z')$ et $(x-x',
y-y'+z-z') \in F \times G+H$ donc $x - x' = 0$ et $(y-y'+(z-z')) = 0 + 0$
d'où $x = x'$, $y = y'$, $z = s'$ donc $F \cap (G+H)$ (les autres cas se traitent de manière
symétrique. )

Michel Coste

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Re : Démonstrations endomorphismes/somme directe

Bonjour,
Ton énoncé de 1 ne va pas. $E$ et $F$ ne sont pas des ensembles, mais des espaces vectoriels. Tu oublies l'hypothèse que l'application linéaire $f$ est bijective. Enfin tu écris $f$ au lieu de $f^{-1}$ (aussi à la fin de la démonstration, qui sinon est correcte).
La question 2 n'a pas grand sens si tu ne précises pas la définition que tu as pour "être en somme directe" quand il s'agit de plusieurs sous-espaces. Pour moi, ce qu'il s'agit de démontrer est la définition.

glnr_1

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Re : Démonstrations endomorphismes/somme directe

Bonjour, pour 2. : ce que je montre c'est que $F$ est en somme directe avec la somme de $G$ et $H$ à savoir $G+H$, avec cette définition, est-ce-que ce que j'ai écrit pour 2. est juste ?

pour 1. , en écrivant $ f^{-1} \in \mathcal{L}(F,E) $ est-ce-que la preuve devient correcte ?

Dernière modification par glnr_1 (11-03-2025 22:19:20)

Michel Coste

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Re : Démonstrations endomorphismes/somme directe

Si je comprends bien, pour toi la définition qu'une famille de sous-espaces est en somme directe est que chacun est en somme directe avec la somme des autres, autrement dit que l'intersection de chaque sous espace avec la somme des autres est réduite au sous-espace nul. Ce que tu as écrit est correct, mais on peut faire plus court.
Pour le 1, je t'ai déjà répondu que c'est correct (une fois qu'on a bien écrit l'énoncé et rétabli les $f^{-1}$ là où il faut). Là aussi, on peut faire un peu plus court :
$$f^{-1}(\lambda x+y) = f^{-1}(\lambda f(f^{-1}(x))+f(f^{-1}(y)))=f^{-1}(f(\lambda f^{-1}(x)+f^{-1}(y)))=\lambda f^{-1}(x)+f^{-1}(y)\;.$$