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Lucas67

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Prouver que la somme des inverses des carrés est \(\frac{\pi^2}{6}\)

Bonjour, j'essaie de prouver que la somme des inverses des carrés est \(\frac{\pi^2}{6}\).

Pour cela, on me donne la fonction \( f(z) = \frac{\mathrm{cotan}(z)}{z^2} \).

On voit immédiatement deux pôles : un en \( 0 \) et un en \( n\pi \). 
Il est assez direct de calculer le résidu en chaque pôle : 
\[
\operatorname{Res}(f(z),0) = -\frac{1}{3}
\]
\[
\operatorname{Res}(f(z),n\pi) = \frac{1}{n^2\pi^2}
\]
Ainsi, il ne reste plus qu'à prouver que l'intégrale de contour s'annule. Pour cela, on peut prendre un contour carré de longueur \( (2N+1) \) centré à l'origine.

Mon idée était d'utiliser le lemme d'estimation :
\[
\left| \int_\gamma f(z) dz \right| \leq M l(\gamma)
\]
où \( l(\gamma) = 4(2N+1) \).

Cependant, je suis bloqué pour déterminer \( M := \sup_{z\in\gamma} \left| f(z) \right| \). 
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Fred

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Re : Prouver que la somme des inverses des carrés est \(\frac{\pi^2}{6}\)

Bonjour,

  tu peux remarquer que $|\sin(z)|^2=\sin^2(x)+\textrm{sh}^2(y)$ si $z=x+iy$
puis que $\cotan^2(z)=\frac1{\sin^2(z)}-1$.

F.