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bib99

Invité

Inégalité à confirmer.

Bonjour à tous,

Soient [tex]f \ : \ \mathbb{R^{3}} \to \mathbb{R}[/tex] et [tex]g \ : \ \mathbb{R^{3}} \to \mathbb{R}[/tex] deux fonctions intégrables sur [tex]\mathbb{R}^3[/tex] pour la mesure de Lebesgue.

Comment montrer que,
[tex] | \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } f g \ d \lambda | \leq | \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } ( \sup_{ x \in \mathbb{R}^3} f ) \times g \ d \lambda \ |[/tex]

Merci d'avance.

bib99

Invité

Re : Inégalité à confirmer.

Je pense qu'il faut considérer la décomposition suivante, [tex]g = g.1_{ \{ g > 0 \} } + g.1_{ \{ g < 0 \} }[/tex].

Michel Coste

Membre Expert

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Re : Inégalité à confirmer.

Bonjour,
Cette inégalité est visiblement fausse sans hypothèses supplémentaires (prendre par exemple $f$ et $g$ égales respectivement à $-1$ et $1$ sur le cube unité, à $0$ ailleurs). Qu'as-tu oublié ?

bib99

Invité

Re : Inégalité à confirmer.

Bonjour Michel,

Merci pour ta réponse,

En fait, je ne vois aucune erreur à partir de ton supposé contre exemple. En effet,
Je note, c.u. le cube unité. Alors,

[tex] | \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } f g \ d \lambda | = | \displaystyle \int_{ \mathrm{c.u.} } (-1) \times 1 \ d \lambda | = Vol (\mathrm{c.u.} ) \leq | \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } ( \sup_{ x \in \mathbb{R}^3} f ) \times g \ d \lambda \ | = | \displaystyle \int_{ \mathrm{c.u.} } (-1) \times 1 \ d \lambda \ | = Vol ( \mathrm{c.u.}) [/tex]

Donc, il y a égalité. Il n y a pas d'erreur. Où est le problème ?

Merci d'avance.

bib99

Invité

Re : Inégalité à confirmer.

Ah d'accord, [tex] \sup_{ x \in \mathbb{R}^{3} } f = 0 [/tex]. D'accord.

Peux tu me corriger l'énoncé en lui ajoutant des hypothèses supplémentaires si possible comme tu me l'expliques ?

Merci d'avance.

Roro

Membre expert

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Re : Inégalité à confirmer.

Bonjour,

Je pense que si tu rentres les valeurs absolues à l'intérieur, ce sera moins faux :
$$\Big| \int fg \Big| \leq \int \sup|f| \times |g|$$
mais ce n'est sans doute pas ce que tu veux...

La vraie question est : pourquoi veux-tu une telle inégalité ? Dans quel cadre ?

Si tu veux vraiment ton inégalité alors je dirai que ça doit fonctionner avec les hypothèses suivantes $g\geq 0$ et $|f|\leq \sup f$, mais ce n'est peut être pas ce que tu veux !

Roro.

Dernière modification par Roro (08-03-2025 10:29:19)

bib99

Invité

Re : Inégalité à confirmer.

Bonjour Roro,

Je veux une telle inégalité pour montrer que, [tex] \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } f g \ d \lambda = 0[/tex], étant donné comme seule hypothèse que, [tex]\displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } g \ d \lambda = 0[/tex].
Alors, je cherche à appliquer une suite d'égalités comme suit,
[tex] 0 \leq | \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } f g \ d \lambda | \leq | \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } ( \sup_{ x \in \mathbb{R}^3} f ) \times g \ d \lambda \ | \leq | ( \sup_{ x \in \mathbb{R}^3} f ) | \times | 0 | \leq 0 [/tex].
Donc, finalement,
[tex]\displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } g \ d \lambda = 0 \ \ \Longrightarrow \ \ \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } f g \ d \lambda = 0[/tex].
Est ce que l'inégalité suivante fonctionne cette fois ci,
[tex] | \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } f g \ d \lambda | \leq | \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } ( \sup_{ x \in \mathbb{R}^3} | f | ) \times g \ d \lambda \ |[/tex]
?

Merci d'avance.

Roro

Membre expert

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Re : Inégalité à confirmer.

Bonjour,

Ce qui est sûr, c'est que $\int g = 0$ n'implique pas $\int fg=0$ pour toute fonction f (prend par exemple $f=g$)... donc si tu essayes de montrer quelque chose qui est faux, il y a peu de chance que ça fonctionne !

Roro.

bib99

Invité

Re : Inégalité à confirmer.

Bonjour Roro,
Non, [tex]f \neq g[/tex] par hypothèse.
Voici ce que je cherche à montrer,
Soit [tex]f[/tex] comme dans le premier énoncé de ce fil.
Montrer que,
Pour tout [tex]g[/tex] comme dans le premier énoncé de ce fil,
[tex]\int g = 0[/tex] implique, [tex]\int fg = 0[/tex].
Est ce que c'est faux ?
Merci d'avance.

bib99

Invité

Re : Inégalité à confirmer.

Pour être plus précis,
[tex]f \in C^{ \infty } ( \mathbb{R}^3 )[/tex] étant fixée, mais [tex]g[/tex] circule dans[tex] \mathcal{D} ( \mathbb{R}^3 ) = C^{ \infty } ( \mathbb{R}^3 )[/tex]. Ce dernier, lui, n'est pas fixé.

bib99

Invité

Re : Inégalité à confirmer.

Pardon. Je corrige le message précedent,
Pour être plus précis,
[tex]f \in C^{ \infty } ( \mathbb{R}^3 )[/tex] étant fixée, mais [tex]g[/tex] circule dans [tex] \mathcal{D} ( \mathbb{R}^3 ) = C_c^{ \infty } ( \mathbb{R}^3 )[/tex]. Ce dernier, lui, n'est pas fixé.

Roro

Membre expert

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Re : Inégalité à confirmer.

Bonsoir,

Pardon. Je corrige le message précedent,
Pour être plus précis,
[tex]f \in C^{ \infty } ( \mathbb{R}^3 )[/tex] étant fixée, mais [tex]g[/tex] circule dans [tex] \mathcal{D} ( \mathbb{R}^3 ) = C_c^{ \infty } ( \mathbb{R}^3 )[/tex]. Ce dernier, lui, n'est pas fixé.

Ça reste pas très clair ni précis !

Par exemple, si $f\in C_c^{ \infty } ( \mathbb{R}^3 )$ alors tu peux prendre $f=g$...

Peux-tu écrire ce que tu veux avec des quantificateurs (du style $\forall f\in C^{ \infty } ( \mathbb{R}^3 )$...) ?

Roro.

Dernière modification par Roro (08-03-2025 19:38:28)

bib99

Invité

Re : Inégalité à confirmer.

Soit [tex]f \in C^{ \infty } ( \mathbb{R}^3 ) \backslash \mathcal{D} ( \mathbb{R}^3 )[/tex].
Montrer que,
[tex]\forall g \in \mathcal{D} ( \mathbb{R}^3 ) : ( \ \ \int g = 0 \ \ \Longrightarrow \ \ \int fg = 0 ) [/tex].

Roro

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Re : Inégalité à confirmer.

Bonsoir,

Soit [tex]f \in C^{ \infty } ( \mathbb{R}^3 ) \backslash \mathcal{D} ( \mathbb{R}^3 )[/tex].
Montrer que,
[tex]\forall g \in \mathcal{D} ( \mathbb{R}^3 ) : ( \ \ \int g = 0 \ \ \Longrightarrow \ \ \int fg = 0 ) [/tex].

Merci pour cette formulation plus claire.

Il est quand même assez évident que ce que tu veux est FAUX.

Je te donne une nouvelle raison (car lorsque je t'ai dit qu'il suffisait de prendre $f=g$ tu as ajouté une hypothèse) : prend une fonction $g_0\in \mathcal D$ non nulle et à moyenne nulle et considère $f=g_0+1$.

Je peux alors trouver une fonction $g\in \mathcal D$ (prendre $g=g_0$) telle que sa moyenne soit nulle et telle que $\int fg \neq 0$.

Roro.

Dernière modification par Roro (08-03-2025 22:23:29)

bib99

Invité

Re : Inégalité à confirmer.

Bonsoir Roro,

Merci pour ton aide.
Je me suis mal exprimé.
En fait, [tex]f[/tex] c'est moi qui le choisit, et non arbitraire.
[tex]f[/tex] est [tex]u_0[/tex], oú, [tex]( u_0 , u_1 , u_2 , p )[/tex] est la supposée solution de l'équation de Navier stokes. Puisque, on ne sait pas ce qu'est actuellement [tex]u_0[/tex], je ne peux pas te dire qui est [tex]f[/tex]. Donc, [tex]f[/tex] , c'est moi qui la choisit, et non arbitraire.

Michel Coste

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Re : Inégalité à confirmer.

Franchement bib69, ce n'est pas très sérieux, ton histoire.

Roro

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Re : Inégalité à confirmer.

Bonsoir,

Oui, c'est bien ce que j'ai compris. Tu as une fonction $f$ donnée (mais sur laquelle tu ne sais pas beaucoup de chose). Et bien, je te dis qu'il y a peu de chance que ton résultat soit juste. C'est même presque toujours faux.

Evidemment, si $f=1$ (ou tout autre constante), tu auras bien $\int g=0 \Longrightarrow \int fg=0$ mais sinon, ce ne sera pas vrai.

Je suis même presque convaincu que c'est toujours faux, sauf si $f$ est constante.

Ce que je t'ai dit précédemment c'est que si $f$ est de la forme $g_0+1$ avec $g_0$ non nulle à moyenne nulle alors ton résultat ne tient pas. Ce n'est qu'un exemple, mais sans plus d'information sur $f$, on ne pourra clairement pas affirmer le résultat.

Dans le cas que tu évoques, $f$ serait la première composante du champs de vitesse de l'équation de Navier-Stokes. Tu auras donc très peu d'info dessus... et sauf cas très particulier, $f$ n'est pas constante.

Roro.

P.S. Je vois que Michel a réagi, je lui avais un peu pris la priorité puisqu'il avait commencé à répondre... mais il a complètement raison : j'ai l'impression que tu manipules des objets (en parlant par exemple des équations de Navier-Stokes) que tu es à des années lumières de maitriser.

Dernière modification par Roro (08-03-2025 23:55:59)

bib99

Invité

Re : Inégalité à confirmer.

Bonsoir Michel,
Bonsoir Roro,

Non. Ma question est sérieuse. Je cherche juste à savoir :
Est ce que l'inégalité suivante est correcte,
[tex] | \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } f g \ d \lambda | \leq | \displaystyle \int_{ \mathbb{R}^3 } ( \sup_{ x \in \mathbb{R}^3} | f | ) \times g \ d \lambda \ | [/tex]
?

Merci d'avance.

bib99

Invité

Re : Inégalité à confirmer.

Tu as raison Roro. J'ai trouvé un contre-exemple. Le voici,
Par exemple, on peut avoir une fonction [tex]g[/tex] dont l'intégrale est nulle, et une fonction [tex]f[/tex] qui est nulle quand [tex]g[/tex] est négatif et positive quand [tex]g[/tex] est positif ...

Roro

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Re : Inégalité à confirmer.

Bonjour,

Je ne doute pas que la question soit sérieuse, mais la réponse est quand même triviale...

Puisque je l'ai annoncé voici le résultat suivant.

Soit $f\in \mathcal D'(\mathbb R^3)$. Supposons que la propriété $(P)$ suivante soit vraie
$$(P) \quad : \quad \forall g\in \mathcal D(\mathbb R^3) \quad \Big( \quad \int g = 0 \quad \Longrightarrow \quad \langle f , g \rangle = 0 \quad \Big)$$
Dans ce cas, pour tout $\varphi \in  \mathcal D(\mathbb R^3)^3$ on aurait
$$\langle \nabla f , \varphi \rangle  = - \langle f , \mathrm{div} \, \varphi \rangle = 0,$$
la dernière égalité provenant de la propriété $(P)$ appliquée à $g=\mathrm{div} \, \varphi$ qui est bien à moyenne nulle en vertu du théorème de Stokes.
Ainsi, si $(P)$ est vraie alors $f$ est constante.

Roro.

Dernière modification par Roro (09-03-2025 09:18:41)

bib99

Invité

Re : Inégalité à confirmer.

Merci Roro pour ces précisions.