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Orange99

Invité

Espaces de Hilbert séparable.

Bonsoir à tous,

Soient [tex]H[/tex] et [tex]K[/tex] deux espaces de Hilbert complexes séparables.
Est ce que nécessairement [tex]H[/tex] et [tex]K[/tex] sont isomorphes ?

Merci d'avance.

Fred

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Messages : 7 348

Re : Espaces de Hilbert séparable.

Bonjour,

  Oui. Il suffit de considérer l'application linéaire qui envoie une base hilbertienne de l'un sur une base hilbertienne de l'autre.

Correction : De Geer a raison, il faut que tous les deux aient la même dimension (finie ou infinie)...

F.

DeGeer

Membre

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Messages : 222

Re : Espaces de Hilbert séparable.

Bonsoir
Pas nécessairement. Par exemple $\ell^2(\mathbb{N})$ et $\mathbb{C}^n$. Si par contre on suppose que les deux sont de dimensions infinie (et séparables), alors ils sont isomorphes à $\ell^2(\mathbb{N})$ donc isomorphes entre eux.

Orange99

Invité

Re : Espaces de Hilbert séparable.

Bonjour,

Merci Fred et DeGeer pour vos réponses.
Est ce que l'espace de Hilbert complexe [tex]H = L^2 ( \mathbb{R} )[/tex] ''of complex valued square integrable functions'', muni de la mesure de Lebesgue usuelle est séparable ?

Merci d'avance.

Orange99

Invité

Re : Espaces de Hilbert séparable.

Bonjour,

Merci Fred et DeGeer pour vos réponses.
Est ce que l'espace de Hilbert complexe [tex]H = L^2 ( \mathbb{R} )[/tex] ''of complex valued square integrable functions'', muni de la mesure de Lebesgue usuelle est séparable ?

Merci d'avance.

Si oui, est ce que alors [tex]L^2 ( \mathbb{R} )[/tex] et [tex]\ell^2(\mathbb{N})[/tex] sont isomorphes ?

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 348

Re : Espaces de Hilbert séparable.

Oui, $L^2(\mathbb R)$ est séparable, et par conséquent, $L^2(\mathbb R)$ et $\ell^2(\mathbb N)$ sont isomorphes, et même isométriques.

Orange99

Invité

Re : Espaces de Hilbert séparable.

Merci beaucoup Fred pour cet éclairage.
Soient [tex]H[/tex] et [tex]K[/tex] deux espaces de Hilbert complexes séparables et [tex]B (H,K)[/tex] l'espace des opérateurs bornés de [tex]H[/tex] dans [tex]K[/tex].
Soit [tex]B(H)[/tex] l'espace des opérateurs bornés de [tex]H[/tex] dans [tex]H[/tex], et [tex]B(K)[/tex]  l'espace des opérateurs bornés de [tex]K[/tex] dans [tex]K[/tex].
Est ce que,
- [tex]B(H)[/tex] et [tex]B(H,K)[/tex] sont isomorphes ? Si oui, pour quelle structure ?
- [tex]B(K)[/tex] et [tex]B(H,K)[/tex] sont isomorphes ? Si oui, pour quelle structure ?
Je rappelle que, [tex]B(H)[/tex] ainsi que [tex]B(K)[/tex] sont des [tex]C^*[/tex] - algèbres, et [tex]B(H,K)[/tex] et un [tex]B(K)[/tex] - module de Hilbert et que tout [tex]C^*[/tex] - algèbre est un cas particulier de module de Hilbert.
Voir,
- https://fr.wikipedia.org/wiki/C*-alg%C3%A8bre
- https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_C*-module

Merci d'avance.

Orange99

Invité

Re : Espaces de Hilbert séparable.

Voici ce que je propose pour montrer que [tex]B(H)[/tex] et [tex]B(H,K)[/tex] sont isomorphes :
Puisque, [tex]H[/tex] et [tex]K[/tex] sont séparables, ils sont isomorphes.
Soit [tex]f : H \to K[/tex] un isomorphisme de [tex]H[/tex] dans [tex]K[/tex].
Soit [tex]\Phi  : \ B(H) \to B(H,K)[/tex] un morphisme de Hilbert modules, défini par : [tex]\Phi (T) = f \circ T[/tex].
Mais, je n'arrive pas à montrer que [tex]\Phi[/tex] est un isomorphisme de module de Hilbert.
Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance.

Orange99

Invité

Re : Espaces de Hilbert séparable.

Ici, file:///C:/Users/Asus%20PC/Downloads/admin,+dummy-2.pdf , page 2, on présente la définition d'isomorphisme de Hilbert modules.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Espaces de Hilbert séparable.

Bonjour,

@Orange99
Je suis au regret de te signaler que l'adresse donnée ci-dessus nous est - et c'est totalement logique et normal - inaccessible...

En effet Ici, file:///C:/Users/Asus%20PC/Downloa … ummy-2.pdf pointe sur ton ordinateur.
Il est heureux que ce soit le cas, sinon toutes les données sensibles se trouvant sur ta machine seraient -sans effort, à la disposition de n'importe qui !!!
Je te suggère donc de déposer ton fichier sur https:\\www.cjoint.fr, de suivre les instructions, de copier le code que tu obtiendras à la fin et de revenir le coller dans un prochain message.
Nous pourrons alors prendre connaissance du document auquel tu fais référence au post précédent...

Cordialement,

      Yoshi
- Modérateur -

Orange99

Invité

Re : Espaces de Hilbert séparable.

Bonjour yoshi,

Merci pour ton message.
Le lien www.cjoint.fr ne fonctionne pas sur mon ordinateur. Je ne sais pas pourquoi.
Pour vous simplifier l'accès au document, il suffit de taper sur google, les mots clés suivants : Michael frank, isomorphisms of hilbert C^* modules.
Le premier lien affiché par google : MATHEMATICA SCANDINAVICA, isomorphisms of hilbert C^* modules and ... est exactement le lien qui pointe vers le document concerné.

Cordialement.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Espaces de Hilbert séparable.

Bonsoir,

Au temps pour moi : toutes mes excuses à tous les lecteurs et lectrices...
La bonne adresse est en .com et non en .fr : la revoilà corrigée (le lien a été testé avant validation de mon post) :
https://www.cjoint.com

      Yoshi
- Modérateur -