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amatheur73

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continuité d'une dérivée

Bonjour à tous, j'aurais une question concernant les points de discontinuité d'une dérivée , et les points de continuité.

J'ai lu que l'ensemble des points de discontinuité d'une dérivée est un ensemble maigre ( réunion dénombrable d'ensembles nulle part denses).  Pourtant il existe des dérivées discontinues sur un ensemble dense . Il n' y a pas contradiction ?

Quelque chose doit m'échapper : $\mathbb{Q}$ est maigre , et pourtant dense dans $\mathbb{R}$  . Or dans un espace de Baire , une partie maigre ne peut pas être dense apparemment....

Merci pour vos lumières !

triop

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Re : continuité d'une dérivée

Salut,
Sauf erreur un ensemble maigre est une réunion dénombrable d'ensembles fermés d'intérieurs vides. Dans un espace métrique complet (ou un espace de Baire) cela implique qu'un ensemble maigre est d'intérieur vide. Par contre, une réunion d'ensemble nulle part denses n'est pas "nulle part dense". D'habitude on utilise plutôt la formulation "intérieur vide" je crois.

amatheur73

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Re : continuité d'une dérivée

Merci triop, apparemment un ensemble maigre est bien cela, une réunion dénombrable de fermés d'intérieurs vides. C'est le cas de $\mathbb{Q}$ qui est la réunion dénombrable de ses singletons. $\mathbb{Q}$ est bien d'intérieur vide . J'ai confondu "d'intérieur vide" avec "nulle part dense", alors que "nulle part dense" signifie " dont l'adhérence a un intérieur vide", ce qui n'est pas le cas de $\mathbb{Q}$.