Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Julien_residu

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Chaussons

Il y a deux boules noires et deux boules blanches. Si j'en tire deux au hasard, quelle probabilité qu'elles soient de la même couleur ?

Paul : Quatre possibilités: BB BN NB NN. Une chance sur deux

Jacques : j'en tire une. Il en reste une de la même couleur, et deux de couleur différente. Une chance sur 3

Qui a raison ?

cailloux

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Re : Chaussons

"Bonjour", tu connais ?
C'est avec ce genre de détail que nos éventuels échanges sont conviviaux ...

Dernière modification par cailloux (14-02-2025 21:42:01)

Ernst

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Re : Chaussons

Bonsoir,

Tirage sans remise. Jacques.

▼vérification

Je mets les quatre boules au hasard en ligne, je choisis deux emplacements au hasard aussi, et je regarde les boules. On peut choisir n'importe quelle paire d'emplacements, on n'obtiendra jamais que deux fois l'unité de couleur sur l'ensemble de la distribution.

BBNN
BNBN
BNNB
NNBB
NBNB
NBBN

Jacques a donc raison.

Bernard-maths

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Re : Chaussons

Bonjour à tous !

Pour que Jacques ait raison, il faudrait 3 couleurs !

B-m

---

Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !

Rescassol

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Re : Chaussons

Bonjour,

> Si j'en tire deux au hasard ...
Un seul tirage de deux booules, il n'est pas question de remise ou pas remise. Paul a raison.

> j'en tire une. Il en reste ...
Ce n'est pas la même expérience. Jacques a modifié le problème, il ne parle plus du tirage initial. Il a tort.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (15-02-2025 11:00:53)

Roro

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Re : Chaussons

Bonjour,

Paul : Quatre possibilités: BB BN NB NN. Une chance sur deux

Roro : 6 possibilités : $B_1B_2$, $B_1N_1$, $B_1N_2$, $B_2N_1$, $B_2N_2$, $N_1N_2$. Deux chances sur six, Jacques a raison.

Roro.

Dernière modification par Roro (15-02-2025 16:56:38)

Julien_residu

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Re : Chaussons

Bonjour rescassol, en fait jacques a bien raison. Si on fait le graphe complet on voit bien qu'il y a 6 possibilités et non 4, dont 2 gagnantes.
Et le raisonnement "je tire une boule, puis l'autre" ne change pas l'énoncé.

C'est compliqué. Pierre aurait pu dire : "les boules peuvent être blanches, noires, ou mixtes. Une chance sur 3"

Ernst

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Re : Chaussons

Bonsoir,

J'aime beaucoup ce problème, parce qu'il est clairement contre-intuitif.

Imaginons une urne avec quatre boules, deux blanches et deux noires. On y plonge la main et on en prend deux à la fois, sans les regarder bien sûr. On est persuadé d'avoir une chance sur deux de sortir une main unicolore, étant donné qu'on considère effectivement les quatre possibilités BB, BN, NB et NN.

Si on énumère les distributions possibles, on se dit que si on sort BN il reste BN, donc double raté, mais si on sort BB alors il reste NN, double réussite, cela confirme les 50%.

Je me suis amusé à faire un code Python qui met les boules dans un tableau, qui mélange, puis qui en sort deux au hasard :

import random as r;u=[*'BBNN'];t=lambda:(r.shuffle(u),r.sample(u,2))[1];n=10**6;m=sum((x:=t())[0]==x[1]for _ in[0]*n);print(f"OK : {m}\nProba : {m/n:.5f}")

Un million de tirages en quelques secondes et on se retrouve bel et bien avec 1/3 de mains unicolores…

Donc contre-intuitif, sûr.

▼rions ensemble

Le programme Python de départ est là :

import random

def tirage():
    # L'urne contient 2 boules blanches (B) et 2 boules noires (N)
    urne = ['B', 'B', 'N', 'N']

    # Mélanger l'urne
    for i in range(len(urne) - 1, 0, -1):
        j = random.randint(0, i)
        urne[i], urne[j] = urne[j], urne[i]

    # Choisir deux indices distincts
    index1 = random.randint(0, len(urne) - 1)
    index2 = random.randint(0, len(urne) - 1)
    while index2 == index1:
        index2 = random.randint(0, len(urne) - 1)

    # Sélectionner les boules correspondantes
    main = [urne[index1], urne[index2]]

    return main

def est_unicolore(main):
    # Vérifie si les deux boules sont de la même couleur
    return main[0] == main[1]

def simuler_tirages(nombre_de_tirages):
    mains_unicolores = 0
    for _ in range(nombre_de_tirages):
        main = tirage()
        if est_unicolore(main):
            mains_unicolores += 1
    return mains_unicolores

# Nombre de tirages
nombre_de_tirages = 1000000

# Simuler les tirages
mains_unicolores = simuler_tirages(nombre_de_tirages)

# Calculer la probabilité
probabilite = mains_unicolores / nombre_de_tirages

print(f"Nombre de mains unicolores : {mains_unicolores}")
print(f"Probabilité d'obtenir une main unicolore : {probabilite:.4f}")

Alors pourquoi le code condensé ? Parce qu’en math, on adore écrire $\forall x \in \mathbb{R}^{*+}$ plutôt que « pour tout réel strictement positif » alors j’ai décidé d’en faire autant...

Rescassol

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Re : Chaussons

Bonsoir,

Finalement, on peut raisonner comme dans les exercices classiques avec un jeu de cartes.
$\dfrac{\binom{2}{0}\binom{2}{2}+\binom{2}{2}\binom{2}{0}}{\binom{4}{2}}=\dfrac{2}{6}$

Cordialement,
Rescassol

bridgslam

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Re : Chaussons

Bonsoir,

Ce qui ne va pas avec l'idée de Paul, c'est que sa liste d'évènements n'est pas constituée d'évènements équiprobables.
Plus raisonnablement, en négligeant l'ordre d'apparition des boules:
BB vaut 1, NN vaut 1, BN vaut 4 car il y a deux possibilités de boules d'une même couleur, donc 4 cas aussi valables l'un que l'autre, sur 6 en tout.
On retombe aussi comme cela sur p=1/3 = 2/6.

Jacques fait le bon raisonnement, la situation étant symétrique selon que l'un des tirages est B ou N (nombre égal de boules blanches et noires) , le sort d'avoir BB ou NN ne dépend que du second tirage.
Si on veut à tout prix décomposer cela revient aussi à 1/2 x 1/3 + 1/2x1/3.

---

"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Ernst

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Re : Chaussons

Amis des probabilités, bonjour.

Extension du problème :
- toujours avec un tirage de deux boules, cette fois quelle distribution de boules noires et blanches permet d'avoir exactement 50% de chances d'obtenir une main unicolore ?
- et tant que j'y suis, même question mais avec un tirage de trois boules ?

Rescassol

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Re : Chaussons

Bonjour,

Pour la première question, si on a $p$ boules blanches et $q$ boules noires, soit $n=p+q$ boules en tout, la probabilité d'un tirage unicolore de $2$ boules est $\dfrac{\binom{p}{0}\binom{q}{2}+\binom{p}{2}\binom{q}{0}}{\binom{p+q}{2}}$.
Pour obtenir $\dfrac{1}{2}$, cela donne $(p-q)^2=p+q$ donc $p=\dfrac{m(m+1)}{2}$ et $q=\dfrac{m(m-1)}{2}$ (et vice-versa) pour un certain $m$.
Par exemple $p=10$ et $q=6$.

De même, pour un tirage de $3$ boules, on doit avoir $p^2 - 4pq + q^2 - p - q=0$.
Par exemple $p=20$ et $q=5$.

Cordialement,
Rescassol

Dernière modification par Rescassol (18-02-2025 20:02:13)

Ernst

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Re : Chaussons

Bonsoir Rescassol,

Ah oui, excellent. Par simulation j'avais trouvé 2 et 4 ainsi que 20 et 5, mais ta formule permet un 1 et 3 par exemple, que je n'avais même pas essayé.