Forum de mathématiques - Bibm@th.net

glnr_1

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Théorème de Darboux

Bonjour, pouvez-vous corriger/vérifier la preuve que je donne du théorème de Darboux ? En vous remerciant. (Il est énoncé comme suit dans ma fiche de TD) : "Soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2$. On suppose $a<b$. Soit $f \in \mathcal{D}^1([a,b],\mathbb{R})$ . On suppose $f'(a)>0$ et $f'(b)<0$.Montrer qu'il exsite $c \in ]a,b[$ tel que $f'(c) = 0$ ".

\(f\) est continue sur le segment \( [a,b] \) donc elle admet un minimum sur \( [a,b] \) que l'on note \( c \).
On a  : \( f'(a) < 0 \) donc : \( \lim\limits_{x \to a}\ \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} < 0 \) donc il existe \( \varepsilon \in ]a,b-a[ \) tel que \( \forall x \in ]a,a+\varepsilon[, f(x) < f(a) \) (on traduit le fait que pour $x \in I \backslash \left\{a \right\}$, on a $ \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} < 0 $ au voisinage de $a$ ) donc : \( c \neq a \)
Il existe \( \varepsilon \in ]a,b-a[ \) tel que \( \forall x \in ]b- \varepsilon , b [, f(x) < f(b)  \) donc : \( c \neq b \)

donc : \(f\) admet un extremum en \(c\), élément de \( [a,b] \) qui n'est pas une de ses extrémités , on en déduit \( f'(c) = 0 \)

agrega_sarrachles_tif

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Re : Théorème de Darboux

Salut,
Dans ton énoncé, tu dis $f'(a)>0$, dans la résolution, $f'(a)<0$. ça revient presque au même mais il faut choisir :).
ton $\epsilon$, j'imagine que tu ne le veux pas dans $]a;b-a[$.
Sinon oui je suis d'accord avec la rédaction.

Zebulor

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Re : Théorème de Darboux

Bonsoir,
sur la forme les bornes de l'intervalle ]a,b-a[ me paraissent bizarre... Par exemple pour a=1 et b=2 il n'y a plus d'intervalle du tout ..

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En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.