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agrega_sarrachles_tif

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fonction périodique admettant une double primitive périodique

Bonjour,
Dans le cadre d'un exo, je me pose une question:
Soit $E$ l'ensemble des fonctions $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$, qui sont $2\pi$ périodiques.
As t on que si $f \in E$ admet une primitive dans $E$, alors $f$ admet une 'double primitive' (une fonction F tq F"=f) dans E?

Dans l'exercice que j'essaie de faire, il faut donner l'image de l'endo $u$ de $E$ dans $E$ qui à $f$ associe $f''$. Une fonction dans $Im(u)$ est nécessairement tq l'integrale de $0$ à $2\pi$ est nulle, sinon son intégrale n'est pas bornée, et sa "double intégrale" non plus. Mais je ne sais pas si cette condition est suffisante, pour que $f$ soit dans $Im(u)$.

Dernière modification par agrega_sarrachles_tif (10-02-2025 01:29:59)

Roro

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Re : fonction périodique admettant une double primitive périodique

Bonjour agrega_sarrachles_tif,

Etant donnée une fonction $f$ (régulière et $2\pi$ périodique), tu peux écrire toutes les solutions de $F''=f$ sous la forme
$$F(x) = \int_0^x\Big(\int_0^t f(s)\, \mathrm ds \Big)\mathrm dt + ax + b.$$
Il suffit de vérifier à quelles conditions sur $a$, $b$ et $f$, ta fonction $F$ ainsi définie est $2\pi$ périodique.

Je pense que tu trouveras qu'il faut que $f$ soit de moyenne nulle sur une période (et que c'est suffisant...).

Roro.

agrega_sarrachles_tif

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Re : fonction périodique admettant une double primitive périodique

Salut!

Je pense que tu trouveras qu'il faut que $f$ soit de moyenne nulle sur une période (et que c'est suffisant...).

La partie "et que c'est suffisant", j'ai du mal à m'en convaincre. C'est peut être tout con mais j'y arrive pas.

Roro

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Re : fonction périodique admettant une double primitive périodique

Bonjour,

Tu peux poser $H(x)=F(x+2\pi)-F(x)$.
Tu veux savoir à quelles conditions $H$ est nulle.
Tu dérives deux fois et tu obtiens $H"=0$ (puisque $f$ est périodique) donc $H'=H(0)$.
Pour que $H'$ soit nul, il faut donc que $H'(0)=0$ ce qui correspond à ta condition de moyenne nulle.

Ensuite tu as donc $H=H(0)$. Pour que $H$ soit nul, il faut et suffit que $H(0)=0$, ce qui est possible en choisissant bien $a$...

Roro.

Dernière modification par Roro (10-02-2025 16:08:31)

agrega_sarrachles_tif

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Re : fonction périodique admettant une double primitive périodique

Ok donc avec $H(0)=0$, on a :
$\displaystyle \int_{0}^{2\pi}{\int_{0}^{t}f(t)dtdx}+2\pi a = 0$

et on a pas forcément $a=0$, on isole a et on a la solution, puisque, par régularité de $f$, cette intégrale est finie. Intuitivement pour moi elle devait être nulle mais non. Merci beaucoup!