Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Omhaf

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Volume citerne elliptique

Bonjour,
Je viens de terminer une application qui calcule le volume du liquide que contient une citerne cylindrique horizontale grâce au Rayon la corde et le segment du cercle.
Cependant je trouve du mal à faire de même pour une citerne elliptique ayant un petit rayon et un grand rayon.
Pour simplifier, je ne demande pas le volume car celui ci se calcule par une simple multiplication de la longueur par le niveau calculé.
Si quelqu'un peut m'aider à formuler la question je lui serais reconnaissant.

Merci d'avance.
@bientôt

Roro

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Re : Volume citerne elliptique

Bonjour,

En utilisant un calcul d'intégrale, on doit réussir à s'en sortir comme dans le cas du cercle ?
Si ton ellipse (la partie du bas) a pour équation $y=f(x)=-\frac{b}{a}\sqrt{a²-x²}$ alors ta surface vaudra
$$S = 2Lf(L) - \int_{-L}^L f(x)dx.$$
L'intégrale se calcule, par exemple, par changement de variables $t=x/a$.

Sinon (c'est en fait la même chose), tu peux sans doute voir que le cas elliptique peut se ramener au cas du cercle par le changement de coordonnées $(x,y)\longmapsto (x/a,y/b)$ où $a$ et $b$ sont les grand et petit rayons de ton ellipse.

Roro.

Dernière modification par Roro (08-02-2025 10:43:17)

Ernst

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Re : Volume citerne elliptique

Bonjour,

Si j'avais à le faire, j'utiliserais la formule de la surface d'un segment circulaire avec le petit rayon. Comme dans mon esprit l'ellipse est un cercle déformé de façon linéaire sur un axe, je multiplie alors cette surface par le rapport entre le grand axe et le petit axe, et pour obtenir le volume dans la citerne je multiplie le résultat par sa longueur.

LEG

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Re : Volume citerne elliptique

Bonjour
@ Omhaf

Il me semble que tu te compliques la tâche ... moi, ""en m'amusant""  j'aurait fait ceci :

1)
Sauf erreur, le volume d'une citerne avec fond plat = $\pi * r²* L$ , L ou H étant la Longueur ou Hauteur de ta citerne .... et non le niveau calculé ....

2)
Donc si ta citerne est debout avec un fond plat et le niveau $C$ restant , ton volume restant, serra =  $\pi * r²* C$  non ..?

3)
Si ta citerne a des fonds en forme d'ellipse il te faut la profondeur de l'ellipse.... ("d'où , sans dire de bêtises ") il te faut  en Cm :

le Diamètre , la Longueur de la cuve , la Profondeur de l'ellipse et le Niveau restant de liquide ,

4)
Puis tu appliques la formule Math  correspondant à une citerne avec fond en forme d'ellipse ...

Volume d'une ellipse 4/3 * pi * A  * B * C , avec A = profondeur de l'ellipse , B = rayon et C = demi hauteur de la cuve

.... Je pense que notre ami Yoshi va te donner la formule Mathématique ...  Ou qu'un matheux me corrige.... Je rigole ...

Bonne journée ....

Dernière modification par LEG (08-02-2025 16:06:31)

Bernard-maths

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Re : Volume citerne elliptique

Bonjour à tous !

Ou simplement par une homothétie axiale, d'axe (x'x) et de rapport r/R, r étant le petit rayon en y, R le grand rayon en x.

x -> x et y -> y*r/R ...

B-m

---

Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !

Omhaf

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Re : Volume citerne elliptique

Bonjour
Tout d'abord mes vifs remerciements à tous ces sympathiques intervenants.
Cependant, je crois que j'ai été mal compris par ce cher LEG, en parlant de volume, oui! le volume d'une citerne avec un fond plat ou elliptique qu'elle soit horizontale ou verticale  est facile à calculer.
Ce que je cherche c'est le calcul du volume restant avec une jauge (règle marquée) après des opérations de pompage par exemple.
Merci encore,
@+

LEG

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Re : Volume citerne elliptique

Ok :

Et bien si ta règle est graduée , tu connais don la hauteur H du liquide restant dans ta citerne ...

Avec les formules qu'il y a sur internet  par exemple sur terre -net .fr , tu connais la hauteur du volume restant , qu'il te suffira de renseigner ...

Exemple en cm ,  diamètre de ta citerne D =100 cm , Longueur  L=200 cm , Hauteur du liquide H =100cm c'est à dire qu'elle est pleine ...
Volume = 1570 ,8 Litres

Supposons qu'il ne te reste que 40 cm de liquide et ben : D = 100 ; L = 200 et H = 40 ; Volume restant = 586 ,74 Litres ....

La formule Mathématique n'est pas indiquée , mais seul le résultat t'intéresse .....

Dernière modification par LEG (08-02-2025 16:08:19)

Omhaf

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Re : Volume citerne elliptique

Re,
Merci LEG
oui je connais plusieurs sites qui donnent le volume en partant de la hauteur du liquide dans la citerne et en fournissant les 2 rayons de la citerne.
exemple https://www.eclecticsite.fr/calc/ellipsetankN.htm
Ce que je cherche, c'est la formule mathématique générale pour déterminer moi même le volume du liquide  en partant de:
r Petit rayon
R Grand rayon
h hauteur du liquide jaugé
L longueur de la citerne horizontale
Merci
@+

Dernière modification par Omhaf (08-02-2025 17:37:40)

Roro

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Re : Volume citerne elliptique

Hello,

Je tente une formule :

$$\mathrm{Volume} = LrR \Big( \frac{\pi}{2} - \mathrm{arctan}\Big( \frac{r-h}{\sqrt{h(2r-h)}}\Big) \Big) - \frac{LR}{r}(r-h)\sqrt{h(2r-h)}.$$

Roro.

Omhaf

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Re : Volume citerne elliptique

Re
Merci infiniment  Roro, je vais immédiatement tester
Mais peux-tu définir les variables utilisées L et h sachant que r et R sont les rayons ?
@+

Dernière modification par Omhaf (08-02-2025 20:00:07)

Roro

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Re : Volume citerne elliptique

Re
Merci infiniment  Roro, je vais immédiatement tester
Mais peux-tu définir les variables utilisées L et h sachant que r et R sont les rayons ?
@+

C'est toi qui a défini r, R, L et h au post #8 !!!

J'ai utilisé tes notations.

Roro.

Dernière modification par Roro (08-02-2025 20:04:07)

Omhaf

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Re : Volume citerne elliptique

Re
Ah merci beaucoup mon cher Roro  et désolé de mon inattention
@+

Omhaf

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Re : Volume citerne elliptique

Re tout le monde
Je peux me tromper dans mes calculs selon la formule de Roro mais mes résultats ne concordent pas avec ce que me donne ce site
(Attention le site demande de saisir les diamètres)
Lien https://www.eclecticsite.fr/calc/ellipsetankN.htm
Merci
@ bientôt

Roro

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Re : Volume citerne elliptique

Re,

Une formule équivalente :

$$\mathrm{Volume} = LrR \Big( \frac{\pi}{2} - (1-\frac{h}{r})\sqrt{\frac{h}{r}\Big(2-\frac{h}{r}\Big)} - \mathrm{arcsin}\Big( 1-\frac{h}{r} \Big) \Big).$$

Je pense que c'est la même que précédemment, écrite différemment.

Roro.

Dernière modification par Roro (08-02-2025 23:29:31)

Omhaf

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Re : Volume citerne elliptique

Bonjour,
Merci Roro , Bernard Maths Ernst LEG pour l'effort
Hélas, j'ai interprété les deux formules dans des exemples que j'ai comparé avec les sites internet, les résultats des 2 formules différent entre eux et différents avec les calculs des sites internet.
Je tourne toujours en rond mais la recherche continue
@ bientôt

Michel Coste

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Re : Volume citerne elliptique

Bonjour,
La formule de Roro est tout à fait correcte. Ècrite autrement
$$LRr\left(\arccos\left(1-k\right)- \left(1-k\right)\sqrt{2k- k^2}\right)\qquad\text{où} \ k=\frac{h}{r}\;.$$

Omhaf

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Re : Volume citerne elliptique

Bonjour
Merci Michel Coste
J'ai pris un exemple et je l'ai appliquée à la formule donnée par Michel Coste et Roro
R=1.25 m
r=0.60 m
Longueur Cuve =2.50 m
Niveau du liquide h =0.30m
Le résultat obtenu est 111.688 litres environ
Tous les sites me donnent un résultat différent : 1151.60
où est le problème ?
Merci

Michel Coste

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Re : Volume citerne elliptique

Il vaut mieux quand tu appliques la formule prendre les arccos en radians, et pas en degrés, voyons !

import numpy as np

R=12.5; r=6.; L=25.; h=3.
k=h/r
vol=L*R*r*( np.arccos(1-k)- (1-k)*np.sqrt(2*k- k**2))
vol

1151.5965924457098

Dernière modification par Michel Coste (09-02-2025 20:15:37)

Omhaf

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Re : Volume citerne elliptique

Bonsoir
Je ne saurai jamais exprimer ma gratitude comme ils méritent  à tous ceux qui m'ont aidé et spécialement Roro et Michel Coste
Ouiiiii j'y suis enfin arrivé grâce à vous.
La conversion en radians, oui elle m'a totalement échappée, encore mille merci.
Vive bibmath
@+