Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Borassus

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Peut-on intégrer par parties $\dfrac {e^x}{x}$ ?

Chers amis, bonjour !

Borassus réapparaît après une agréable coupure à Marseille puis en Corse.

J'ai l'impression qu'on ne peut pas intégrer par parties $\dfrac {e^x}{x}$.
Me trompé-je ?

Merci de vos lumières.
Bonne et fructueuse journée à tous.

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
« Pourquoi ? » est sans doute le principal moteur de la connaissance.
L'exigence précède l'expérience.

Roro

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Re : Peut-on intégrer par parties $\dfrac {e^x}{x}$ ?

Bonjour Borassus,

On peut toujours intégrer par parties ! La véritable question est de savoir si cela permet de calculer explicitement l'intégrale.
Ici, on peut montrer qu'il n'existe pas de primitive de la fonction $x\mapsto \mathrm{e}^x/x$ qui s'exprime à l'aide de fonction usuelle.
Tu peux donc intégrer par parties autant de fois que tu veux mais tu n'obtiendras pas de résultat à l'aide de primitives usuelles connues.

On peut donc définir une "nouvelle" fonction comme primitive :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Exponenti … C3%A9grale

Roro.

Borassus

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Re : Peut-on intégrer par parties $\dfrac {e^x}{x}$ ?

Bonjour Roro, bonjour à tous,

Merci de ta réponse qui enrichit (de nouveau) ma compréhension.

Effectivement, tout produit de deux fonctions — ici $\dfrac 1 x$ et $e^x$ — n'est pas "primitivable" car chacune des deux combinaisons $u$ - $v'$ — ici $u = \dfrac 1 x$ et $v' = e^x$ , ou $u = e^x$ et $v' = \dfrac 1 x$ — mène à une impasse.

Bon dimanche à tous.
Bien cordialement,
Bor.

PS : Excuse-moi, Roro, de ne pas t'avoir répondu rapidement : outre la reprise des cours après cette coupure dont j'avais besoin, je prépare avec une assez forte excitation intellectuelle deux stages de préparation aux concours Advance et Avenir, ce qui est pour moi une première, et ce qui a tendance à un peu annihiler le reste, dont notamment mon sommeil. (J'ai du mal à tourner le bouton tard le soir, et me réveille trop tôt le matin car le cerveau continue pendant mon sommeil à chercher des façons personnelles d'expliquer les réponses aux QCM.)

Dernière modification par Borassus (09-02-2025 08:53:47)

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A condition qu'elle soit gênante, l'incompréhension est la clé de la compréhension.
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