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TurboEytan

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comparaison de série à termes équivalents

Bonjour !

Ma question concerne le comportement asymptotique des séries. Lorsque l'on a deux suites [tex] (u_k)_{k\in\mathbb{N}} [/tex] et  [tex] (v_k)_{k\in\mathbb{N}} [/tex] équivalente x lorsque k tend vers l'infini, on peut utiliser le théorème de somation des relations de comparaison pour comparer, soit le reste de leurs séries lorsque celles-ci sont convergentes, soit leur sommes lorsqu'elles sont divergentes.

En revanche, si l'on imagine que les deux suites sont paramétrées par un entier n (mais toujours indicées sur k) et que chaque terme [tex] (u_k)(n) [/tex] est équivalent à [tex] (v_k)(n) [/tex] pour n tends vers l'infini, que peut on dire sur leurs séries ?

Est ce que  [tex] \sum\limits_{k=0}^{+\infty}(u_k)(n) [/tex] sera équivalent à [tex] \sum\limits_{k=0}^{+\infty}(v_k)(n) [/tex]  (par rapport à n qui tend vers l'infini) ?

Merci d'avance pour l'aide apportée !

Dernière modification par yoshi (06-02-2025 12:02:24)

Glozi

Invité

Re : comparaison de série à termes équivalents

Bonsoir,
Posons $u_k(n)=(1-\frac{1}{n})^k$ et $v_k(n)=(1-\frac{1}{n ^2})^k$ alors pour $k$ fixé $u_k(n) \sim_{n\to \infty} v_{k}(n) \sim_{n\to \infty}1$.
Cependant,
$\sum_{k=0}^\infty u_k(n)=n$ alors que $\sum_{k=0}^\infty v_k(n)=n^2$.
Bonne soirée